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• Ejemplo de Verificación de Continuidad
• Función: f(x)=x2−4x−2f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}f(x)=x−2x2−4​
• Punto de Verificación: x=2x = 2x=2
• Paso 1: Verificar la Existencia del Límite
• Necesitamos calcular el límite de f(x)f(x)f(x) cuando xxx se aproxima a 2. Primero, intentamos la sustitución directa:
• lim⁡x→2x2−4x−2\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}limx→2​x−2x2−4​
• Sustituyendo x=2x = 2x=2:
• 22−42−2=00\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}2−222−4​=00​
• La sustitución directa da una forma indeterminada 00\frac{0}{0}00​. Por lo tanto, debemos simplificar la función.
• Simplificación:
• Factorizamos el numerador:
• x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)x2−4=(x−2)(x+2)
• Entonces:
• f(x)=(x−2)(x+2)x−2f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}f(x)=x−2(x−2)(x+2)​
• Cancelamos el factor común x−2x - 2x−2:
• f(x)=x+2 para x≠2f(x) = x + 2 \text{ para } x \neq 2f(x)=x+2 para x=2
• Ahora, calculamos el límite de la función simplificada:
• lim⁡x→2(x+2)=2+2=4\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4limx→2​(x+2)=2+2=4
• El límite existe y es 4.
• Paso 2: Verificar la Existencia del Valor de la Función
• Debemos verificar si f(x)f(x)f(x) está definida en x=2x = 2x=2. Observamos que la función original x2−4x−2\frac{x^2 - 4}{x - 2}x−2x2−4​ no está definida en x=2x = 2x=2 debido a la división por cero. Sin embargo, la función simplificada f(x)=x+2f(x) = x + 2f(x)=x+2 está definida en x=2x = 2x=2, y su valor es:
• f(2)=2+2=4f(2) = 2 + 2 = 4f(2)=2+2=4
• Paso 3: Verificar la Igualdad del Límite y el Valor de la Función
• Para que la función sea continua en x=2x = 2x=2, el límite debe ser igual al valor de la función en ese punto. Aquí:
• El límite es 4.
• El valor de la función en el límite es 4.
• Entonces, la función f(x)=x2−4x−2f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}f(x)=x−2x2−4​ se aproxima a 4 cuando xxx se aproxima a 2, y el valor de la función en ese punto es también 4.
• Conclusión: La función es continua en x=2x = 2x=2 si consideramos su forma simplificada, a pesar de que la función original no está definida en ese punto.