derivadas

DERIVADA

REGLA DE DERIVADAS

A la derivada se le da el nombre de coeficiente diferencial y la operación de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación.

Si la derivada de una función existe en un punto particular, decimos que f es diferenciable en tal punto.

La derivada de y=f(x) con respecto a x también se denota por uno de los siguientes símbolos:

d / dx (y), df / dx (f), y‘, f’ (x), Dxy, Dxf

EJEMPLO

Determine f’ (x) si f (x)= 2x2+3x+1. Evalúe f’ (2) y f’ (-2).

Solución sea y = f (x) = 2x2+ 3x + 1. Entonces,

y+ Δy = f(x + Δx)= 2(x +Δx)2 +3(x +Δx) + 1

= 2{x2 + 2x . Δx + (Δx)2} + 3x + 3 Δx + 1

= 2x2 + 4x* Δx + 2 (Δx)2+ 3x + 3 Δx + 1

= 2x2 + 3x + 1 + Δx (4x + 3 + 2 Δx)

Restando y de y + Δy, tenemos

Δy= Δx (4x + 3 + 2 Δx)

f’(x)= -2x, f (3) = -6, f’ ( -2) = 4

Algunas de las reglas derivadas son

DERIVADA DE UNA POTENCIA ENTRE POSITIVA

Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:

f’(x)= x5

f '(x)= 5x4

Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cuál es la regla para derivar ese tipo de expresiones.

DERIVADA DE UNA CONSTANTE

DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero.

Ejemplo: f(x) = 7

f '(x) = 0

Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:

f’(x)= x5

f '(x)= 5x4

Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cuál es la regla para derivar ese tipo de expresiones.

REGLA DE DERIVADAS

Algunas de las reglas derivadas son

DERIVADA DE UN PRODUCTO

DERIVADA DE UN COCIENTE

DERIVADA DE UNA SUMA

Aún no hemos dicho cuál es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".

f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5)

f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)

Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.

f

f 'g - fg'

[

]'

=

g

g2

Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.

Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:

f(x)= 2x3 + x

f '(x)= 6x2 + 1

Pendiente de una recta

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Se denota con la letra m.

Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

Cálculo de la pendiente

Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Ejemplos

La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.