Mindmap

Secciones Cónicas

David Alvarez Spanisch

Inhalt der Mindmap

Secciones Cónicas

Evolución histórica de las secciones cónicas
- Apolonio ( 262-190 A.C )
  - descubrió que las secciones cónicas se podían clasificar en tres tipos
    - elipses
    - hipérbolas
    - parábolas
- Menecmo ( 350 A.C )
  - Primero en dercubrir estas curvas cónicas
- René Descartes (1596-1650)
  - desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones
    - Geometría analítica
      - curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado
        con variable en
        X
        Y
- Johannes Kepler (1570-1630)
  - descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos
- Arquímedes (287-212 A.C.)
  - usó las propiedades de los espejos parabólicos para incendiar naves Romanas durante la defensa de Siracusa
¿ Qué son las secciones cónicas?
- Se denomina cónica o sección cónica al conjunto de los puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos ramas
Tipos de secciones cónicas
- SECCIONES CÓNICAS DEGENERADAS
  - Se definen como la intersección de un cono circular recto de dos hojas con un plano que pasa por el vértice,
    - El punto
      - figura geométrica adimensional, no tiene medida, ni superficie, ni ángulo
    - Las 2 rectas
      - rectas paralelas
        si y solo si, cuando sus pendientes son iguales
        m1=m2
      - rectas secantes
        Se consideran así cuando las dos rectas se intersecan o cortan en cualquier punto en el plano
        Pueden llegar a ser rectas perpendiculares, si y solo si sus pendientes son reciprocas y de signo contrario
        (m1) (m2) = -1
    - La recta
      - se extiende sobre un número infinito de puntos, no tiene inicio ni fin, su característica esencial es que siempre conserva su misma dirección,
        Forma general de la recta, Ax + By + C = 0 .
        . Forma punto pendiente, y- y1 = m (x + x1).
        Forma pendiente y ordenada al origen, y=mx+b
        Forma simétrica, x/a+y/b=1
      - APLICACIÓN EN LA VIDA
- SECCIONES CÓNICAS NO DEGENERADAS
  - diferentes cortes que un plano puede realizar en el cono circular recto, sin cruzar el vértice,
    - La elipse
      - lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo que se denomina foco y a una recta dada llamada directriz
        Forma general de la elipse, Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0
        Con vértice en el origen, X2/a2+Y2/b2=1 ó X2/b2+Y2/a2=1
        Con vértice fuera del origen, (x-h)2/a2+(Y-k)2/b2=1 ó (x-h)2/b2+(Y-k)2/a2=1
      - APLICACIONES A LA VIDA
    - La circunferencia
      - lugar geométrico determinado por el movimiento de un punto en el plano, siempre y cuando permanezca a una misma distancia llamada radio, de un punto central
        Forma general de la circunferencia, X2+Y2+Dx+Ey+F=0
        En el origen, X2+Y2=r2
        Fuera del origen, (x-h)2+(y-k)2=r2
      - APLICACIÓN EN LA VIDA
    - La hipérbola
      - lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva
        Forma general de la hipérbola,Ax2+By2+Cx+Dy+E=0
        Con vértice en el origen, X2/a2-y2/b2=1 ó X2/b2-y2/a2=1
        Con vértice fuera del origen, (x-h)2/a2-(y-k)2/b2=1 ó (x-h)2/b2-(y-k)2/a2=1
      - APLICACIONES A LA VIDA
    - La parábola
      - lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto externo llamado foco,
        .Forma general de la parábola, X2+Dx+Ey+F=0 ó Y2+Dy+Ex+F=0
        Con vértice fuera del origen, (y-K)2=4(x-h) ó (x-h)2=4(y-k)
        Con vértice en el origen, Y2=4Px ó X2=4Py
      - APLICACIÓN A LA VIDA