calculo vectorial

calculo vectorial

1. Gradiente de una función

   • es una función de valor vectorial, a diferencia de una derivada, que es una función de valor escalar. Al igual que la derivada, el gradiente representa la pendiente de la línea tangente a la gráfica de una función.

2. Divergencia de una función

   • La divergencia es un operador que toma una función vectorial que define a este campo vectorial y arroja como valor de salida una función escalar que mide el cambio de la densidad del fluido en cada punto.

3. Rotacional de una función

   • El rotacional es un operador que toma una función, la cual representa un campo vectorial de tres dimensiones, y le asigna otra función que representa un campo vectorial diferente de tres dimensiones.

4. Coordenadas curvilíneas ortogonales

   • es un sistema de coordenadas tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. Este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un espacio euclídeo o más generalmente sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana.

5. Coordenadas curvilíneas

   • son un sistema de coordenadas para el espacio euclidiano en el que las líneas de coordenadas pueden ser curvadas. Comúnmente sistemas de coordenadas curvilíneas utilizado incluyen: sistemas de coordenadas rectangular, esférica, y cilíndrica.

6. Gradiente, divergencia y rotacional en coordenadas curvilíneas ortogonales

   • Gradiente •Para analizar cómo cambia un campo escalar, si tenemos una función escalar en un punto P, ejemplo la temperatura T, puede variar su valor en otro punto, P1, para estudiar sus variaciones en el espacio se utiliza las derivadas parciales en tres direcciones.
   • Divergencia El flujo saliente de un vector a través de una superficie cerrada se puede calcular o bien con:
   • Rotacional El rotacional es un vector cuya magnitud es la circulación máxima de A por unidad de área conforme el área tiende a cero. La orientación sigue la regla de la mano derecha. Vector

7. Transformaciones con el Jacobiano

   • Sea una función de dos variables f = f(x, y) , definida en un recinto cerrado S de R2, y consideremos que subdividimos este recinto S en pequeños rectángulos de longitudes xi, yi (se dice que hemos realizado una partición del recinto cerrado S). En cada uno de estos trocitos de superficie Si, tomamos un punto interior, Pi(xi,yi); para definir la integral doble de f(x, y) sobre el recinto cerrado S, debemos hacer una partición muy fina, es decir, con todos estos elementos de superficie Si tendiendo a anularse, y tendiendo su número a ser infinito, entonces:

8. Análisis de integrales

   • Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x =a y x = b , donde a límite inferior de la integración y b límite superior de la integración

9. Cálculo de volúmenes con integrales dobles en coordenadas polares

10. Teorema de cambio de variables para integrales dobles

    • Bajo ciertas condiciones la integral múltiple en coordenadas cartesianas se transforma en una integral múltiple en otras coordenadas donde la región de integración es más simple cada y por lo tanto el cálculo es mucho más sencillo

11. Cambio de orden de integración

    • Para hacer que una integral complicada se transforme en una integral más fácil de manejar se puede realizar un cambio en el orden de integración, cambiando con esto los límites de integración, lo cual puede hacer más manejable la integral. El cambio de orden se usa en integrales donde los límites de integración no son constantes, ya que en caso de que estos sean constantes no hay un cambio en los límites y por tanto no cambia la dificultad de la integral.

12. La posición del centro de masas de un sólido rígido discreto viene dada por:

    • La posición del centro de masas de un sólido rígido discreto viene dada por:
    • Como el momento es un producto vectorial, para calcular su módulo se multiplica el módulo del vector fuerza por la distancia al eje de giro y por el seno del ángulo, debido a que solo las componentes perpendiculares de la fuerza tienden a hacer rotar al cuerpo.

13. Integrales de línea

    • es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo,

14. Integración de funciones vectoriales

    • es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones.

15. Cálculo de áreas y de volumen mediante integrales dobles

    • Consideremos un sólido T, cuyo volumen está limitado superiormente por z=f(x,y) e inferiormente por la región Ω, siendo z=f(x,y) una función que depende de x y de «y»:
    • Por tanto, el volumen del sólido T se puede calcular como la integral doble:
    • Estableciendo los límites de integración para dx y para dy, la integral doble para el cálculo de volúmenes queda de la forma:

16. Integrales dobles

    • Dada una función de dos variables, f(x, y), puedes encontrar el volumen entre la gráfica y una región rectangular del plano xy y al tomar la integral de una integral,

17. Momento de inercia

    • es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia.

18. Integrales iteradas y regiones de integración

    • La integral doble se soluciona por medio de dos integrales estas se les llama integrales iteradas: esto quiere decir que si f es integrable en R = (a,b) x (c,d).

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