MAPA MENTAL

MAPA MENTAL

1. Teoría de Conjuntos

   • Introducción El termino probabilidad es un concepto vago que se usa en la vida diaria para indicar cuán posible es que se presente u ocurra un evento en el futuro. El poder predecir en la medida de lo posible los eventos y/o comportamientos de algunos procesos, Desarrollo o contenido Definición: Desde la perspectiva matemática un conjunto es una colección bien definida o especifica descrita con claridad. Un conjunto se puede definir de tres maneras posibles: 1. Por enumeración: cuando se escribe o elabora una lista de los elementos que constituyen el conjunto. 2. Por comprensión: cuando se proporciona una regla con la que se identifican los elementos del conjunto. 7 3. Por diagrama de Venn: es un método gráfico para representar conjuntos y sus relaciones. Consta de un rectángulo para representar el conjunto universo (adelante definimos este concepto), dentro del cual se trazan círculos para representar los conjuntos.
     • Un conjunto universal se define como el conjunto que contiene todos los elementos que interesan en una situación determinada y se denota con la letra U. Este conjunto se representa mediante un diagrama de Venn, el cual representa el conjunto universal y dentro de él se dibujan los conjuntos que lo conforman. El subconjunto lo podemos definir como dos conjuntos A y B donde uno de los dos se encuentra dentro del otro. Es decir, cuando todos los elementos de A están contenidos o pertenecen al conjunto B, se dice que A es subconjunto de B. La forma de representar un subconjunto es la siguiente A ⊆ B. Se dice que A es subconjunto propio de B, A ⊂ B, si B tiene por lo menos un elemento más que A. Un conjunto vacío o también denominado conjunto nulo es aquel que carece de elementos y se simboliza mediante φ o bien mediante { }. El término de cardinalidad de un conjunto A cualquiera es el número de elementos que contiene, distintos unos de otros, y se simboliza con #(A).

2. Técnicas de conteo

   • Introducción En la sección anterior definimos el enfoque clásico de la teoría de la probabilidad, la cual se calcula como el número de casos favorables entre el número de casos totales. Las técnicas de conteo son tácticas matemáticas utilizadas en posibilidad y estadística que permiten establecer el número total de resultados que tienen la posibilidad de haber desde hacer combinaciones en un grupo o conjuntos de objetos. Técnicas de conteo: Estas técnicas sirven para contar los casos posibles de un conjunto; permiten reducir cálculos cuando no es tan sencillo enumerar los elementos de un conjunto. Diagrama de árbol: El uso del diagrama de árbol sirve para representar todos los eventos posibles de un experimento. Se establece un nudo y a continuación se dibujan cada una de las ramas o trayectorias diferentes a cada uno de los eventos. Notación Factorial: La notación factorial se denota con el uso del símbolo ! para representar el producto de números enteros positivos de la manera sigui
     • Principio Multiplicativo: En general, podemos decir que si un evento A se puede hacer de m maneras y un evento B se puede hacer de n maneras, entonces existe m*n formas de realizar A y a continuación realizar B. Principio Aditivo: Si una acción se puede realizar de n maneras diferentes y una segunda acción se puede realizar de m maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas acciones al mismo tiempo, entonces se puede realizar la primera acción o la segunda de n + m maneras diferentes. Permutaciones Una permutación es un arreglo de todos los elementos de un conjunto, o de una parte de ellos, en el que importa el orden. Sean n, r ∈ N no negativos, con r ≤ n, entonces: a) El número de permutaciones de n objetos distintos es n! b) El número de permutaciones de n objetos distintos, tomando r a la vez, es ? ? ? = ?! (? − ?)!Combinaciones Dado un conjunto de n objetos distintos, cualquier subconjunto no ordenado de tamaño r de esos objetos se llama combinación. Sean n, r ∈ N no

3. Probabilidad Clásica

   • Una de las características de un experimento aleatorio es que no se sabe que resultado particular se obtendrá al realizarlo. Es decir, si A es un suceso asociado con un experimento aleatorio, no podemos indicar con certeza se A ocurrirá o no en una prueba en particular. Por lo tanto, puede ser importante tratar de asociar un número al suceso de A que mida la probabilidad de que el suceso ocurra. Probabilidad Clásica, “A priori” o Teórica. La probabilidad clásica predice un resultado a todos los posibles sucesos que tenga un evento aleatorio. La probabilidad clásica se encarga de distribuir equitativamente la probabilidad en cada uno de los sucesos que componen al espacio muestral, eso cambia si en el espacio muestral hay conjuntos en lugar de solamente sucesos individuales, pues al haber conjuntos formados por sucesos, habrá algunos conjuntos de sucesos.
     • Para poder calcular la probabilidad clásica se emplea “La Regla de Laplace”, la cual consiste en dividir los casos favorables de un evento entre el número total de casos. Al realizar esta operación se obtendrá un número entre 0 y 1. Probabilidad Clásica Formula en Porcentajes ?(?) = ?° ????? ????????? ? "?" ?° ?? ????? ??????? ?(?) = ?° ????? ????????? ? "?" ?° ?? ????? ??????? ∗ 100%

4. Probabilidad Empírica

   • La definición clásica de probabilidad se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito de resultados igualmente probables. Lamentablemente se presentan situaciones practicas que no son ese tipo, por lo que la definición “a priori” no se puede aplicar. Para ello es necesario obtener la probabilidad de otras formas diferentes las cuales se muestran a continuación: 1) Empírica 2) Teórica 3) Subjetivamente
     • Probabilidad Empírica, “A posteriori”, Experimental o Frecuencia Relativa El primer método puede denominarse probabilidad experimental o empírica, la cual se trata de la frecuencia relativa observada con la que ocurre un evento. La definición de probabilidad empírica se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de repeticiones del experimento, esta también recibe el nombre de “a posteriori”, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento una gran cantidad de veces. Cuando el valor asignado a la probabilidad de un evento resulta de datos experimentales, la probabilidad del evento se identificará con el símbolo P’( ), esta notación conocida como Notación Primada se usa para denotar probabilidades empíricas. ?′(?) = ?° ?? ????? ??? ??????ó ? ?° ?? ????? ??? ?? ??????? ?? ??????????�

5. Probabilidad Subjetiva

   • Esta definición de probabilidad se diferencia de los dos enfoques anteriores, debido a que tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores objetivos de probabilidad. El enfoque subjetivo define la probabilidad de un evento a base del grado de confianza que una persona tiene de que el evento ocurra, teniendo en cuenta toda la evidencia que tiene disponible, fundamentado en la intuición, opiniones, creencias personales y otra información indirecta relevante.
     • Probabilidad Subjetiva o Personalista El enfoque subjetivo no depende de la repetitividad de ningún evento y permite calcular la probabilidad de sucesos únicos. Por ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de que un edificio colapse ante un terremoto? Este evento puede que ocurra o que nunca ocurra, pero es lógico pensar que no podemos repetir los terremotos un número grande de veces y contar el número de veces que el edificio colapsa para calcular esa probabilidad. Cuando hablamos de probabilidad subjetiva por lo general no se hace uso de fracciones o porcentajes para expresar la probabilidad de un suceso elemental, sino que se basa en asegurar o negar que un suceso vaya a pasar. Entre los diferentes tipos de probabilidad que se estudian en estadística, la probabilidad subjetiva es la que está más relacionada con el sentimiento humano antes que con los datos o hechos, la probabilidad subjetiva puede ser influenciada por el estado de ánimo o la fe del individuo.
       • Reglas de probabilidad Dado cualquier evento imaginable, puede ocurrir una de tres cosas i. Es imposible que ocurra ii. Es cierto que ocurre iii. La certeza de que ocurra está en un punto intermedio. Por lo que podemos deducir lo siguiente: a) La probabilidad de un evento imposible es 0 b) La probabilidad de un evento que ocurrirá de seguro es 1. c) Para cualquier evento A, la probabilidad de que A ocurra se encuentra entre 0 y 1, inclusive. Es decir 0 ≤ P (A) ≤ 1.