FUNCIONES

FUNCIONES

1. FUNCIONES INVERSAS

   • Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función recíproca) de f (denotada por f-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.
     • • También podemos definir una función inversa a partir de la composición de funciones. f-1 es la inversa de f y f-1 si la composición de f da la función identidad.
         • • PROPIEDADES:
             • ✓El dominio de f-1 es el recorrido de f. ✓El recorrido de f-1 es el dominio de f. ✓La inversa de la función inversa es la propia función:
               • • METÓDO PARA CALCULAR LA FUNCIÓN INVERSA
                   • Tenemos la función y = f(x), realizamos los siguientes pasos:
                     • • EJEMPLO:

2. FUNCION CRECIENTE

   • Una función creciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.
     • • Es decir, la función f es creciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≤ f(x2).
         • • También se puede estudiar el crecimiento a partir de la derivada. Una función f es creciente si para todo punto x del dominio la derivada es positiva, es decir f ’(x) ≥ 0. La función es estrictamente creciente en todo su dominio si para cualquier par de puntos x1 y x2 tales que x1<x2, se cumple que f(x1) < f(x2).
             • FUNCION CRECIENTE EN UN INTERAVALO
               • Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b]. Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) < f(x2). Es decir, es creciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.
                 • • FUNCION CRECIENTE EN UN PUNTO
                     • Sea una función f derivable en el punto a. La función f es creciente en a si f ’(a) > 0. Es decir, es creciente en a si la derivada es positiva.
                       • • EJEMPLOS:

3. FUNCION DECRECIENTE

   • Una función decreciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.
     • • Es decir, la función f es decreciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≥ f(x2).
         • • También se puede estudiar el decrecimiento a partir de la derivada. Una función f es decreciente si para todo punto x del dominio la derivada es negativa, es decir f ’(x) ≤ 0. La función es estrictamente decreciente en todo su dominio si para cualquier par de puntos x1 y x2 tales que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2).
             • FUNCION DECRECIENTE EN UN INTERVALO
               • Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b]. Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.
                 • • FUNCION DECRECIENTE EN UN PUNTO
                     • Sea una función f derivable en el punto a. La función f es decreciente en a si f ’(a) < 0. Es decir, es decreciente en a si la derivada es negativa.
                       • • EJEMPLOS:

4. FUNCION MONÓTONA

   • En matemáticas, una función entre conjuntos ordenados se dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en calculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden..
     • Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótonamente crecientes y monótonamente decrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.
       • EJEMPLO GRAFICO
         • A continuación se muestran tres gráficas de funciones cualesquiera. La primera de ellas es una función estrictamente creciente por la izquierda y por la derecha, mientras que es constante en el medio; por lo demás, es creciente pues conserva el orden ascendente durante todo el recorrido de la función. La segunda de ellas es escrictamente decreciente por la izquierda y por la derecha, puesto que conserva el orden descendente durante todo el recorrido de la función. La última de ellas es una función con un recorrido con partes donde la función es creciente y partes donde es decreciente (presenta máximos y mínimos relativos).
           • • APLICACIONES Y RESULTADOS BÁSICOS

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