Relaciones

Relaciones

1. Definición de relación

   • Se establece la definición formal de una relación R de un conjunto A a un conjunto B como un subconjunto del producto cartesiano A×B . Esto significa que una relación es un conjunto de pares ordenados (a,b) donde a∈A y b∈B , indicando que existe una conexión específica entre a y b . Si A=B , se habla de una relación en A

2. Relaciones binarias

   • Este subtítulo se enfoca específicamente en las relaciones binarias, que son las más comunes y se establecen entre dos conjuntos (o entre un conjunto y sí mismo). Se reitera que una relación binaria R de A a B es un conjunto de pares ordenados (a,b) con a∈A y b∈B

3. Dominio y rango de una relación

   • Para una relación R de A a B : El dominio de R (denotado como Dom(R) ) es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados en R . Es decir, Dom(R)={a∈A∣∃b∈B,(a,b)∈R} . El rango (o codominio/imagen) de R (denotado como Ran(R) o Im(R) ) es el conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados en R . Es decir, Ran(R)={b∈B∣∃a∈A,(a,b)∈R} .

4. Representaciones de relaciones

   • Por extensión (pares ordenados)
     • Listando explícitamente todos los pares ordenados que la componen
   • Por comprensión (mediante una fórmula o propiedad)
     • Definiendo la relación a través de una condición que los pares ordenados deben satisfacer. Por ejemplo, R={(x,y)∈Z×Z∣y=2x}
   • Mediante diagramas de flechas
     • Utilizando dos conjuntos (o uno solo si es una relación en sí mismo) y dibujando flechas desde el primer elemento hasta el segundo elemento de cada par ordenado en la relación.
   • Mediante matrices
     • Representando la relación en una matriz donde las filas corresponden a los elementos del primer conjunto y las columnas a los del segundo. Una entrada '1' indica la presencia del par ordenado, y '0' su ausencia
   • Mediante grafos dirigidos
     • Similar a los diagramas de flechas, pero a menudo se usa una notación más formal de teoría de grafos

5. Propiedades de las relaciones (en un conjunto A)

   • Reflexiva
     • Si para todo a∈A , el par (a,a) pertenece a R . Cada elemento se relaciona consigo mismo
   • Antisimétrica
     • Si para todo a,b∈A , cuando (a,b)∈R y (b,a)∈R , entonces a=b . Si dos elementos distintos se relacionan entre sí en ambos sentidos, esto no puede ocurrir
   • Asimétrica
     • Si para todo a,b∈A , no es posible que (a,b)∈R y (b,a)∈R simultáneamente. Es una condición más fuerte que la antisimétrica
   • Transitiva
     • Si para todo a,b,c∈A , cuando (a,b)∈R y (b,c)∈R , entonces (a,c)∈R . Si a se relaciona con b , y b con c , entonces a se relaciona con c
   • Simétrica
     • Si para todo a,b∈A , cuando (a,b)∈R , entonces (b,a)∈R . Si a se relaciona con b , entonces b también se relaciona con a

6. Clasificación de relaciones

   • Relación de equivalencia
     • Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva. Este tipo de relación particiona el conjunto en clases de equivalencia
   • Relación de orden parcial
     • Una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Permite establecer un orden entre los elementos, pero no necesariamente todos los elementos son comparables
   • Relación de orden total (o lineal)
     • Una relación de orden parcial donde, además, para todo a,b∈A , se cumple que (a,b)∈R o (b,a)∈R (es decir, todo par de elementos es comparable)

7. Clases de equivalencia

   • ara una relación de equivalencia R en un conjunto A , una clase de equivalencia de un elemento a∈A es el conjunto de todos los elementos x∈A que son equivalentes a a bajo la relación R

8. Partición de un conjunto

   • Una partición de un conjunto A es una colección de subconjuntos no vacíos de A talesque cada elemento de A pertenece a exactamente uno de estos subconjuntos

9. Relaciones de orden

   • Se profundiza en las relaciones de orden parcial y total, destacando su importancia para estructurar conjuntos y establecer jerarquías o secuencias. Se pueden mencionar ejemplos como la relación "menor o igual que" ( ≤ ) en los números reales (orden total) o la relación de divisibilidad en los números naturales (orden parcial)
   • Cadenas
   • Anticadenas
   • Elementos maximales y minimales
   • Elementos máximo y mínimo
   • Cotas superiores e inferiores
   • Supremo (o cota superior mínima) e Ínfimo (o cota inferior máxima)

10. Composición de relaciones

    • cómo se pueden combinar dos relaciones para formar una nueva. Si R es una relación de A a B y S es una relación de B a C , la composición de R y S (a menudo denotada como S∘R ) es una relación de A a C

11. Relaciones inversas

    • Para una relación R de A a B , la relación inversa R −1 de B a A se define como

12. Propiedades de las relaciones y su composición

    • Se analiza cómo las propiedades de las relaciones (reflexividad, simetría, transitividad, antisimetría, asimetría) se comportan bajo la composición

13. Relaciones de orden parcial

    • divisibilidad
    • inclusión
    • subconjunto no propio ( ⊆ )

14. Relaciones de orden total

    • La relación "menor o igual que" ( ≤ ) en los números reales o enteros
    • La relación "menor que" ( < ) en los números naturales