FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

1. se define como: sea D un conjunto de pares ordenados de numeros reales. si a cada par ordenado (X,Y) de D le corresponde un unico nuemero real f (X,Y), entonces se dice que f es una funcion de X y . El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente conjunto de valores f (X,Y) es el rango de f.

   • Ejemplo
     • 2 variables
       • z=f (X,Y) =X^2 + XY
     • 3 variables
       • w=f (X,Y,Z)=x+2y-3z
   • Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que las funciones de una variable:
     • (f +- g)(x, y) = f(x, y) +- g(x, y) (Suma o diferencia).
     • (f x g)(x, y) = f(x, y) x g(x, y) (Producto)
     • (f=g)(x,y) = f(x,y) g(x,y) si g(x,y) 6= 0 (Cociente).
     • Si f(x, y), g(z) y Rango(f) C Dom(g) (g x f)(x, y) = g(f(x, y)) (Funcion compuesta).
   • se dice que es una funcion de n variables reales con valores reales. El dominio de f es D C R^N y su imagen el conjunto {f(x1; x2... xn) : (x1; x2... xn) E R^N}C R:
     • GRAFICA DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
       • Se define como
         • La grafi ca de una funcion de dos variables f(x; y) es el conjunto de todos los puntos (x; y; z) tales que z = f(x; y) para (x; y) E Dom(f). La grafi ca de f(x; y) es una super ficie en el espacio
       • GRADIENTE
         • El gradiente de una función escalar multivariable f(x,y,…) denotado como ∇ f empaqueta toda la información de sus derivadas parciales en un vector:
           • • En particular, esto significa que ∇ f es una función vectorial.
             • Ejemplo
               • Si te imaginas que estás parado en un punto (x0, y0...)(x 0 ​,y 0 …) en el espacio de entrada de f, el vector ∇f(x 0 ​,y 0 ​,…) te dice en qué dirección te tienes que mover para incrementar el valor de f lo más rápido posible.
             • Estos vectores gradientes ∇f(x0 ,y 0 …) también son perpendiculares a las curvas de nivel de f
       • DIVERGENCIA
         • La divergencia es un operador que toma una función vectorial que define a este campo vectorial y arroja como valor de salida una función escalar que mide el cambio de la densidad del fluido en cada punto.
           • Interpreta un campo vectorial como si representara el movimiento de un fluido.
           • La fórmula de la divergencia es
             • • No obstante, la divergencia se usa para todo tipo de contextos que pueden tener nada en común con fluidos. La electrodinámica es uno de ellos.
       • ROTACIONAL
         • El rotacional es un operador que toma una función que representa un campo vectorial en tres dimensiones y le asigna otra función que representa un campo vectorial en tres dimensiones distinto.
           • Si un fluido se mueve en un espacio vectorial de tres dimensiones, el rotacional de este fluido alrededor de cada punto, representado como un vector, está dado por el rotacional del campo vectorial original evaluado en dicho punto.
             • El campo vectorial del rotacional debe ser escalado a la mitad si quieres que la magnitud de los vectores rotacionales sea igual a la rapidez de rotación del fluido.
             • Si una función vectorial en tres dimensiones v (x,y,z) tiene como funciones componentes a v1(x,y,z), v2/x,y,z) y v3(x,y,z) el rotacional debe ser calculado de la siguiente manera:
       • Valores extremos de funciones de varias variables
         • Una función z= f(x,y) tiene un máximo (mínimo) en un punto P(Xo,Yo) si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P.
           • Si una función diferenciable z= f(x,y) alcanza un extremo en el punto P(Xo,Yo) entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:
             • • Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.
                 • Se debe de realizar los siguientes pasos
                   • 1. Se halla la primera derivada
                     • 2. Se halla la segunda derivada
                       • 3. Se iguala la primera derivada
                         • 4. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma
                           • 5. Se halla la imagen de cada X sustituyendo la variable independiente en la función.
                             • 6. Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada X

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