DERIVADA

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Derivadas y representación gráfica

Definición. Número crítico. Un valor de x en el que f´(x) = 0 se llama un número critico de la función f. El correspondiente punto (x,f(x)) sobre el gráfico de f se llama un punto critico de ese gráfico.

Definición Máximo relativo (máximo local). La función f tiene un máximo relativo (o máximo local) en un número c si en algún intervalo (a,b) que incluya a c es para todo x en el dominio de f. Análogamente se define un mínimo relativo (o local) de f.

Definición. Máximo absoluto. La función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en el número c si para todo x en el dominio de f. Un mínimo global se define de manera análoga.

Nota: Un máximo global es necesariamente local.

Para saber si una función contiene un máximo local o global es necesario no solo conocer los puntos en que la derivada es igual a cero, es necesario conocer como es el comportamiento de la derivada alrededor de ese punto.

Definición de extremos absolutos:

Sea f(x) una función definida en un intervalo I, se dice que los valores máximos y mínimos de la función de f(x) para el intervalo I se llaman extremos de la función. Se puede distinguir claramente entre dos tipos de valores definidos como sigue:

Un número f(c) es un máximo absoluto de f si para todo x en el intervalo I.

Un número f(c) es un mínimo absoluto de f si para todo x en el intervalo I. Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales Teorema de los valores extremos. Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en el intervalo.

* Nótese que el teorema no dice nada acerca de cuando el intervalo es abierto.

(Véase los aspectos gráficos de la función y sus derivadas)