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2.3 Cálculo de Integrales Indefinidas

2.3.1 Directas

2.3.2 Con cambio de Variables o Sustitución

2.3.3 Trigonométricas

2.3.4 Por partes

2.3.5 Por sustitución trigonométrica

Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;… Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.

2.3.6 Por Fracciones Parciales

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.

La integración directa se aplica cuando identificamos la función primitiva de manera inmediata; esto es, cuando identificamos la regla de derivación que nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.

Fórmulas de integración imediata

Ejemplos:

Transforma la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente.

Ejemplos:

Al igual que las funciones logarítmicas y exponenciales, las funciones trigonométricas también pueden ser integradas.Existe un conjunto separado de fórmulas disponibles para todas las funciones trigonométricas así como para las funciones trigonométricas inversas.Estas fórmulas pueden ser utilizadas directamente en su lugar para integrar el integrando dado.

Aparte de eso las identidades trigonométricas son también fundamentales para llevar a cabo la solución de problemas, especialmente durante el uso de métodos como la sustitución.

Ejemplos

Como es conocido la integración es la técnica inversa de la diferenciación; laintegración por partes es la técnica inversa de la regla del producto de ladiferenciación.La fórmula general para la integración por partes,

Ejemplos

Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de las expresiones: o bien

es posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica.

Para resolver una integral mediante el método de sustitución trigonométrica hay que seguir el siguiente proceso:

1.Proponer la sustitución adecuada.

2.Reemplazar los términos en la integral a partir de la sustitución propuesta.

3.Resolver la integral equivalente obtenida al reemplazar los términos a partir de la sustitución propuesta. Expresar la solución de la integral equivalente en términos de la sustitución original.

A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar.

Situaciones/casos

Ejemplo

Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la cadena.