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Técnicas de conteo y Teoría de la Probabilidad

importancia

la importancia de las temáticas de la unidad 1 es que nos permite estimar o predecir eventos o sucesos a partir de datos o de experimentos aleatorios que realicemos, y esto nos lleva a tomar mejores decisiones y minimizar los riesgos, en nuestra vida cotidiana no encontramos enfrentados generalmente a la toma de decisiones en situaciones en donde la incertidumbre, el azar y el riesgo, son relevantes. La formación en probabilidad y estadística es importante para su desempeño laboral y de aprendizaje.

aplicacion

en nuestra vida cotidiana cada vez que vamos a tomar decisiones siempre evaluamos cuales son las mejores opciones y si podemos fallar en algo, las consecuencias que traerían entre demas alternativas, estas tecnicas y metodologia de la probalidad Estas técnicas permiten agilizar de forma muy significativa el conocer cuántas formas diferentes hay de hacer secuencias o combinaciones de objetos, sin perder la paciencia ni la cordura

Experimento aleatorio, espacio muestral y eventos.

Experimento aleatorio.

Es la reproducción controlada de un fenómeno; y cuyo resultado depende del azar.Es cualquier acción o proceso que no se tiene certeza de su resultado final, hasta tanto no se ejecute. Este tipo de experimento debe satisfacer con los siguientes requerimientos: -Puede repetirse un número ilimitado de veces bajo las mismas condiciones. - Es posible conocer por adelantado todos los posibles resultados a que puede dar origen. - No puede predecirse con exactitud un resultado en una realización particular del experimento.

ejemplos

Lanzamiento de un dado. Lanzamiento de una moneda.

Los experimentos (o fenómenos) aleatorios son aquellos en los que no se puede predecir el resultado. Si se puede predecir el resultado, es un experimento determinista.

espacio muetral

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio al realizar el experimento Proceso

ejemplos

*Si se lanza un dado, el espacio muestral está compuesto por los siguientes elementos:S={1,2,3,4,5,6}. *Si se lanza una moneda que tiene dos caras: perro (P) y gato (G), el espacio muestral está compuesto por:S={P,G}.

Denotaremos el espacio muestral de un experimento con E o Ω.

eventos

Conjunto de uno o más resultados del experimento aleatorio. Es un subconjunto del espacio muestral.

ejemplos

* Si A = {obtener un número 5 al lanzar un dado}, entonces, A={5}. * Si B = {obtener un número mayor que 3 al lanzar un dado}, entonces, B={4, 5, 6}. * Si C = {obtener un número par al lanzar un dado}, entonces, C={2, 4, 6}. * Si D = {obtener al menos 1 gato al lanzar 2 monedas}, entonces, D={(P, G), (G, P), (P, P)}

Es decir, cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio es un suceso aleatorio.

Tecnicas de conteo

Las técnicas de conteo son unos métodos matemáticos que permiten saber cuántas combinaciones u opciones distintas se tienen de los elementos de dentro de un mismo grupo de objetos.

Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/o variables.

permutacion

combinacion

formula de multiplicacion

factorial

variacion

Son un arreglo de los elementos importando el orden.

Son un arreglo de los elementos sin importar el orden.

Total, de arreglos que se puedan hacer en una serie de eventos.

Es el producto de los n factores consecutivos desde n hasta 1. La factorial de un número se denota por n!

Son permutaciones en las que implica orden en la colocación, pero se toma una parte de los elementos del conjunto.

ejemplo

{a, b, c} Elementos

Permutaciones: (abc), (acb), (bac), (bca), (cab), (cba)

El número de permutaciones de n elementos es: n !. En nuestro ejemplo tenemos 3 elementos, y por tanto, la cantidad de permutaciones posibles es 3!, o sea, 6.

ejemplo

Un grupo de 10 personas quieren hacer limpieza en el barrio y se preparan para formar grupos de 2 miembros cada uno, ¿cuántos grupos son posibles?

En este caso, n = 10 y r = 2, así pues, aplicando la fórmula:

10C2=10!/(10-2)!2!=180 parejas distintas.

ejemplo

En un restaurante, el menú consiste en un plato principal , un segundo y postre. De platos principales tenemos 4, de segundos hay 5 y de postres hay 3.

Entonces, N1 = 4; N2 = 5 y N3 = 3.

Así pues, las combinaciones que ofrece este menú serían 4 x 5 x 3 = 60

ejemplo

Es el producto de n por todos los naturales menores que el y se representa con el n!

n!=n·(n-1)!(n-2)·...·3·2·1

Ejemplo 1: hallar 6!

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

ejemplo

¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5n = 3 m ≥ n

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321

No se repiten los elementos, el enunciado nos pide que las cifras sean diferentes

Axiomas de probabilidad

Regla de adiccion

regla de multiplicacion

Sucesos mutuamente excluyentes. Dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo. PAՈB=0, PAUB=PA+PB.

Sucesos compatibles. Cuando tienen algún elemento en común. PAՈB≠0, PAUB=PA+PB-PAՈB.

Sucesos independientes. la ocurrencia o no de un suceso no afecta la ocurrencia o no de otro. PAՈB=PA*PB;PAlB=PA;PBlA=PB.

Sucesos dependientes. La ocurrencia o no de un suceso afecta la ocurrencia o no de otro. PAՈB=PA*P(BlA9

.

probabilidad condicional

formula bayes

Ocurre un evento A, sabiendo que sucede otro evento B. PB l A=PAՈBPB

Calcula la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso. PAnlB=PBlAn*PAn∑PBlAi*PAi

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

ejemplo

Supongamos que se extrae una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea o un rey o una figura negra? (Evento no mutuamente excluyente)

Solución: Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventos

Hay 4 reyes. A = Que la carta sea un rey.

Hay 6 figuras negras B = Que la carta sea una figura negra

P ( A U B ) =P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )

P(A U B)= 4/52 + 6/52 – 2/52 = 8/52= 0.15

ejemplo

Suponga que saca dos cartas de un paquete de cartas una vez de la otra, sin reemplazar la primera carta. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea un y la segunda carta sea una de espadas?

Los dos eventos son eventos dependientes porque la primera carta no es reemplazada.

ejemplo

Si P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,4 y P(A∩B)=0,18. Calcular:

a) P(A|B)

b) P(B|A)

Solución:

En este problema, simplemente vamos a reemplazar los datos en la fórmula.

a) Usamos la fórmula de probabilidad condicional:

b) Usamos la fórmula de fórmula de probabilidad condicional, teniendo en cuenta que vamos a calcular la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A.

La probabilidad condicional Es La probability de ALGÚN evento A , dada la ocurrencia de ALGÚN Otro evento B . Esto está denotado por P ( A | B ) y se lee “la probabilidad de A , dado B ”. En otras palabras, estamos calculando dificultades condicionales al conocer información adicional específicamente a través del experimento.

ejemplos

El de los empleados de una empresa son ingenieros y otro son economistas. El de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Podemos calcular la probabilidad de un suceso A, sabiendo además que ese A cumple cierta característica que condiciona su probabilidad. El teorema de Bayes entiende la probabilidad de forma inversa al teorema de la probabilidad total. El teorema de la probabilidad total hace inferencia sobre un suceso B, a partir de los resultados de los sucesos A. Por su parte, Bayes calcula la probabilidad de A condicionado a B. El teorema de Bayes ha sido muy cuestionado. Lo cual se ha debido, principalmente, a su mala aplicación. Ya que, mientras se cumplan los supuestos de sucesos disjuntos y exhaustivos, el teorema es totalmente válido

en nuestra vida cotidiana estas tecnicas de conteo son muy importantes, Si un evento E puede ocurrir de m formas, e independiente de este evento un evento F puede ocurrir de n formas, entonces los eventos juntos pueden ocurrir un total de m x n formas..

ejemplo

Menú en restaurante

Supongamos que un restaurant ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida?

Respuesta: Se aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una comida: 40 formas

En muchos casos de la vida cotidiana es común que se tenga que elegir entre una u otra cosa; no habrá gran dificultad si son pocas las formas entre las que se debe elegir. Las dificultades se presentarían al realizar el conteo de las formas diferentes a elegir cuando interviene un mayor número de elementos Las técnicas de conteo son una herramienta útil para enumerar los elementos de una técnica de conteo.

El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.

ejemplo

El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.

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En caso de los eventos dependientes , la probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente es:

En caso de los eventos dependientes , la probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente es: