Raices

Técnicas del lugar geométrico de las raíces

Presentación grafica de los polos en lazo cerrado

Cuando varia un parámetro de un sistema es poderoso método de análisis y diseño para estabilidad y respuesta transitoria

Los sistemas de control realimentados son difíciles de comprender desde el punto de vista cualitativo

Su poder real radica en su capacidad de dar soluciones para sistemas de orden superior

Se usa para describir la operación de un sistema cuando se cambian varios parámetros

Ejemplo: efecto de variar la ganancia en el sobrepaso en porcentaje

Tiempo de asentamiento y tiempo pico se podrá mostrar muy fácilmente. La descripción cualitativa se puede verificar con el análisis cuantitativo.

Problema de sistema de control

Los polos de la función de transferencia en lazo cerrado son más difíciles de hallar

Los polos en lazo cerrado cambian con modificaciones en la ganancia de un sistema

A diferencia los polos de la función de transferencia en lazos abierto

No tenemos conocimiento del desempeño del sistema a menos que factoricemos los valores específicos de K del denominador

El lugar geométrico de las raíces se utilizara para darnos una clara imagen de los polos T(s) cuando K varia

Representación factorial de números complejos

Cualquier número complejo descrito en coordenadas cartesianas se puede representar gráficamente por medio de un vector

El numero complejo también se puede describir en forma polar con magnitud M y ángulo

Si el numero complejo se sustituye en una función compleja. F(x) resultara otro número complejo

Evaluación de una función compleja por medio de vectores

Cada vector de la función se muestra terminando en el punto seleccionado. Vector que se origina en el cero.

Definición del lugar geométrico de las raíces

El sistema de rastreo está formado por un doble detector y un transmisor donde un componente está montado en la cámara y el otro lo porta el sujeto

La técnica del lugar geométrico de las raíces se puede usar para analizar y diseñar el efecto de ganancia en lazo en la respuesta transitoria y estabilidad del sistema

El lugar geométrico de las raíces muestra los cambios en la respuesta transitoria cuando la ganancia K varia

Los polos son reales para ganancias menores que 2.5

Sobre amortiguado a una ganancia de 2.5 los polos son reales y múltiplos y por lo tanto están críticamente amortiguados

Para ganancias arriba de 2.5 el sistema esta subamortiguado

Las siguientes conclusiones se demuestran gráficamente mediante el lugar geométrico de las raíces

Para ganancias arriba de 2.5 el sistema esta subamortiguado

Cuando aumentamos la ganancia disminuye el cociente de amortiguamiento y se incrementa el sobrepaso en porcentaje

Propiedades del lugar geométrico de las raíces

A partir de estas propiedades estaremos en aptitud de hacer un rápido bosquejo del lugar geométrico de las raíces para sistema de orden superior

Sin tener que factorizar el denominador de la función de transferencia en lazo cerrado

Trazado del lugar geométrico de las raíces

Una vez obtenido el trazado es posible determinar con precisión los puntos que son de interés para nosotros y para un problema en particular

Las siguientes cinco reglas nos permiten trazar el lugar geométrico de las raíces usando un mínimo de cálculos

º1 Numero de ramas: Define el número de ramas del lugar geométrico de las raíces

º2 Simetría: Los sistemas que se pueden realizar físicamente no pueden tener coeficientes complejos en sus funciones de transferencia. El lugar geométrico de las raíces es simétrico alrededor del eje real.

º3 Segmento del eje real: La única aportación del ángulo en cualquiera de los puntos proviene de los polos y ceros del eje real en lazo abierto, que existen a la derecha del punto respectivo, si calculamos el ángulo con cada punto usado solo los polos y ceros del eje real en lazo abierto a la derecha de cada punto

º4 Puntos de inicio y fin: El lugar geométrico de las raíces comienza en los polos de G(s)H(s) la función de transferencia en lazo abierto. A ganancias altas donde K tiende al infinito, concluimos que el lugar geométrico de las raíces termina en los ceros de G(s)H(s) la función de transferencia en lazo abierto

º5Comportamiento en el infinito: Una función también puede tener polos y ceros infinitos. Si la función se aproxima al infinito cuando s se aproxima al infinito, entonces la función tiene un polo en el infinito. Si la función se aproxima al cero cuando s se aproxima al infinito entonces la función tiene un cero en el infinito

Trazado de lugar geométrico de las raíces con asíntotas

Si el valor de A continuara en aumento los ángulos empezarían a repetirse

El número de líneas obtenidas es igual a la diferencia entre número de polos finitos y el número de ceros finitos

Afinación del trazo

Si buscamos más detalles debemos hallar con precisión puntos importantes sobre el lugar geométrico de las raíces junto con su ganancia relacionada

Los puntos sobre el eje real donde el lugar geométrico de las raíces entra o sale del plano complejo

También es posible deducir una mejor imagen del lugar geométrico y de las raíces si encontramos los ángulos de la salida y llegada desde polos y ceros complejos

Puntos de puntos silla entrada y salida en el eje real

Numerosos lugares geométricos de las raíces parecen salir del eje real cuando los polos del sistema se mueven del eje real al plano complejo

La ganancia debe ser máxima a lo largo del eje real en el punto donde ocurre el encuentro entre -1 y -2. Naturalmente la ganancia aumenta arriba de este valor cuando los polos se mueven en el plano complejo

Un método consiste en maximizar y minimizar la ganancia K usando calculo diferencial

Punto silla de salida y entrada por medio de derivación

El segundo método es una variación del método de cálculo diferencial

Método de transición y elimina el paso de la derivación

Cruces con el eje jw

Estos sistemas tienen un lugar geométrico en las raíces que se inicia en el semiplano derecho

Un valor particular de ganancia, arriba de este valor de ganancia dos de los polos en lazo cerrado del sistema entran en el semiplano derecho lo que significa que el sistema es inestable

Frecuencia y ganancia en el cruce con el eje imaginario

Una región completa de ceros produce la posibilidad de raíces del eje imaginario.

Para valores positivos de ganancia aquellos para los que el lugar geométrico de las raíces se determina solo el renglón y puede producir un renglón de ceros

Ángulos de salida y de llegada

Para trazar el lugar geométrico de las raíces con más precisión debemos calcular el ángulo de salida del lugar geométrico de las raíces a partir de los polos complejos y el ángulo de llegada a los ceros complejos

Traficación y calibración del lugar geométrico de las raíces

Una vez trazado el lugar geométrico de las raíces, podemos localizar con precisión los puntos y hallar la ganancia asociada de los mismos

Reglas básicas para trazar el lugar geométrico de las raíces

Graficación y calibración de lugar geométrico de las raíces

Numero de ramas. El número de ramas del lugar geométrico de las raíces es igual al número de polos en lazo cerrado

Simetría. El lugar geométrico de las raíces es simétrico alrededor del eje real

Segmentos del eje real. Sobre el eje real para K>0 existe el lugar geométrico de las raíces a la izquierda de un número impar del eje real polos finitos en lazo abierto y/o ceros finitos enlazo abierto

Puntos de inicio y final. El lugar geométrico de las raíces inicia en los polos finitos e infinitos de G(s)H(s) y termina en los ceros finitos e infinitos de G(s)H(s)

Comportamiento en el infinito. El lugar geométrico de las raíces se aproxima a líneas rectas como asíntotas cuando el lugar geométrico de las raíces se aproxima al infinito

Todos los puntos situados sobre el lugar geométrico de las raíces satisfacen la relación <G(s)H(s)= 12K+1+180º

Reglas adicionales para refinar el trazado

Puntos silla de salida y entrada del eje real. El lugar geométrico de las raíces sale del eje real en donde la ganancia es máxima y entra en el eje real en un punto donde la ganancia es mínima

Calculo de cruces en el eje jw. El lugar geométrico de las raíces cruza el eje jw en el punto donde <G(s)H(s) = (2A+1) 80º. Se puede usar el criterio de Routh Hurwetz o una búsqueda sobre el eje jw para 2K= I, 180º para hallar el cruje con el eje jw

Angulo de salida y llegada. El lugar geométrico de las raíces sale de los polos complejos en lazo cerrado y llega en ceros complejos a lazo abierto o ángulos que se pueden calcular como sigue: suponga. Un punto e cerca del polo o cero complejo sume todos los ángulos trazados desde todos los polos y ceros en lazo abierto a este punto