Notes
Mathematik ( A.)
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Produktregel
y = u • v
y' = u' • v + v' • u
Beispiel (Produktregel + Faktorregel):
y = (5x^3 -2x) (2x)
y' = (15x^2 - 2) (2x) + (5x^3 - 2x) (2)
y' = 30x^3 - 4x + 10x^3 - 4x
y' = 40x^3 - 8x
y'' = 120x^2 - 8
Quotientenregel:
y = u / v
y' = ( u' • v - v' • u ) / u^2
Kettenregel:
Beispiel 1: y = ( 3x - 2 )^8
Substitution: u = 3x - 2
Äußere Funktion = u^8
Äußere Ableitung = 8u^7
Innere Funktion = 3x -2
Innere Ableitung = 3
y' = 8u^7 · 3 = 24u^7
mit u = 3x - 2 => y' = 24 ( 3x - 2 )^7
Beispiel 2: y = e^4x + 2
Substitution: u = 4x + 2
Äußere Funktion = e^u
Äußere Ableitung = e^u
Innere Funktion = 4x + 2
Innere Ableitung = 4
y' = e^u · 4
y' = e^(4x + 2) · 4
Wendepunkt berechnen:
f''(x0) = 0
f'''(x0 ) ≠ 0
Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab.
Wir setzen die zweite Ableitung Null und berechnen den X-Wert, sofern möglich
Sofern möglich, setzen wir diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein
Ist dieses Ergebnis ungleich Null, liegt ein Wendepunkt vor
Der X-Wert wird in f(x) eingesetzt, um den zugehörigen Y-Wert zu bestimmen
Beispiel:
Wendetangente berechnen:
Wir suchen zunächst den Wendepunkt:
Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab.
Wir setzen die zweite Ableitung Null und berechnen den X-Wert, sofern möglich
Sofern möglich, setzen wir diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein
Ist dieses Ergebnis ungleich Null, liegt ein Wendepunkt vor
Der X-Wert wird in f(x) eingesetzt, um den zugehörigen Y-Wert zu bestimmen
Anschließend ermitteln wir die Wendetangente:
Die Wendetangente ist eine Gerade der Form y = mx + b. Die Variablen m und b müssen bestimmt werden
Die X-Koordinate des Wendepunkts setzen wir in die erste Ableitung ein und erhalten "m"
Anschließend berechnen wir die Schnittstelle "b" mit der Y-Achse
Die Werte setzen wir in die Geradengleichung ein und erhalten dadurch die Wendetangente
Minima und Maxima
In der Extremwert-Rechnung unterscheidet man zwischen lokalen und globalen Maximas bzw. Minimas. Um dies besser zu verstehen, werft einen Blick auf die folgende Grafik:
Die wichtigen Punkte wurden mit den Zahlen 1 bis 5 versehen. Diese schauen wir uns nun einzeln an:
Bei (1) befindet sich ein Maximum. Genauer gesagt ist es ein lokales Maximum, denn es handelt sich hier nicht um den höchsten Punkt der dargestellten Funktion, sondern nur um den höchsten Punkt in der näheren Umgebung.
Bei (2) findet sich ein lokales Minimum, denn dieser Punkt ist der tiefste Punkt in diesem Bereich. Da (2) jedoch auch den tiefsten Punkt der kompletten Funktion darstellt, ist (2) nicht nur ein lokales Minimum, sondern sogar ein globales Minimum.
Bei (3) findet sich erneut ein lokales Maximum.
Bei (4) findet sich ein lokales Minimum.
Bei (5) findet Ihr das globale Maximum, denn es handelt sich um den höchsten Punkt der gezeichneten Funktion.
Hochpunkte und Tiefpunkte
Wir bilden die erste Ableitung der Funktion
Wir bilden die zweite Ableitung der Funktion
Wir setzen die erste Ableitung Null, sprich f'(x) = 0. Dadurch erhalten wir einen oder mehrere X-Werte.
Diese X-Werte setzen wir in die zweite Ableitung ein und prüfen damit, ob wir einen Hochpunkt oder Tiefpunkt haben.
So löst man eine quadratische Gleichung:
Bringt die Gleichung in die Form x2 + px + q = 0
Findet "p" und "q" raus
Setzt dies in die PQ-Formel ein
Berechnet die Formel damit
