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PROBABILIDAD

David Hilbert (1862-1943) plantea 23 problemas matemáticos de importancia. Uno de estos problemas es el de encontrar axiomas o postulados a partir de los cuales se pueda construir una teoría matemática de la probabilidad.

En 1933, el matemático ruso A. N. Kolmogorov (1903-1987) propone ciertos axiomas que a la postre resultaron adecuados para la construcción de una teoría de la probabilidad.

La teoría Clásica

Ha resultado útil para resolver problemas puramente matemáticos, pero sobre todo y principalmente, para modelar situaciones reales o imaginarias, en donde el azar es relevante.

La probabilidad asociada a un suceso o evento aleatorio es una medida del grado de certidumbre de que dicho suceso pueda ocurrir. Se suele expresar como un número entre 0 y 1, donde un suceso imposible tiene probabilidad cero y un suceso seguro tiene probabilidad uno.

Un suceso o evento, será un conjunto de resultados elementales del experimento.

La estadística tiene por objeto el estudio y comportamiento de fenómenos.

Experimentos en base a las estadística

Estos fenómenos son a su vez el resultado de una experimentación.

por lo que podemos hablar indistintamente de fenómenos y experimentos aleatorios.

fenómeno aleatorio: Es un fenómeno es algo observable y que en la mayoría de los casos es, además, cuantificable.

Los experimentos se pueden clasificar en aleatorios y deterministas

deterministas: son aquellos que repetidos en idénticas condiciones nos llevan siempre al mismo resultado.

aleatorios: aunque las condiciones del experimento no cambien, el resultado del experimento es impredecible antes de realizarlo.(depende del azar o de la suerte). (Probabilidad de que suceda.

Estos resultados elementales de un experimento tienen la característica de que no son descomponibles, este se puede ser finito (si está formado por un conjunto finitos de resultados) o infinito.

Dentro los espacios infinitos se pueden diferenciar entre los infinitos numerables e infinitos no numerables.

Los infinitos no numerables se conocen también como continuos.

los infinitos numerables y no numerables se les suele conocer como espacios discretos,

Debemos admitir que nuestras conclusiones están sujetas a un margen de incertidumbre que es la consecuencia de nuestra observación parcial de la realidad.

Inferencia estadística: Solo se toma una muestra de un conjunto limitado de datos para intentar conocer las características de toda una población, por tal motivo es que suele haber inferencias. Por lo tanto nuestras afirmaciones ya no pueden ser categóricas.

Las decisiones que se tomen puede que no sean las más acertadas como consecuencia de la información no contenida en la muestra.

Por lo tanto nuestro objetivo será doble: por un lado estudiar el comportamiento de la variable y de otro reducir en la medida de lo posible ese margen de incertidumbre.

Una forma de cuantificar esa incertidumbre es haciendo uso del concepto de probabilidad.

La estadísitica es una ciencia con la que se pretende buscar las regularidades existentes en el comportamiento de los datos. Sabemos que la estadística se puede clasificar en dos grandes bloques: la inferencia estadística y la Estadística descriptiva.

La estadística descriptiva: es la técnica matemática que obtiene, organiza, presenta y describe un conjunto de datos con el propósito de facilitar el uso, generalmente con el apoyo de tablas, medidas numéricas o gráficas.

DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS DISCONTINUAS

Es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Dada una variable aleatoria X, se llama función de distribución a aquella que proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que xi. Es decir:

F(X1)=P(X _< X1)

Si se conoce la función de distribución F(x) de una variable aleatoria X, ya sea ésta discreta o continua, siempre se cumple que la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en el intervalo (a, b]

P (a < X <_B)=F(b) -F (a)

Una variable aleatoria discreta, es la que produce como resultado un número finito de valores predeterminados, por lo que su recorrido es finito.

Se dice que una variable aleatoria discreta o discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1, x2, x3, ..... xn con probabilidades respectivas p1, p2, p3, ..... pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +...+ pn=1.

En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad.

Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.

En general, una variable aleatoria discreta se define como una aplicación f (xi) tal que:

f (X1)=P(X=X1)=p1

Espacio muestral:

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico denotado por S o Ώ

Variables aleatorias

Variable: se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la duración de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante.

Variable aleatoria: Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra.

Se puede Clasificar en:

Variable aleatoria discreta.

Variable aleatoria continúa.

una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.

Ejemplos:

La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.

El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.

Número de circuitos en una computadora.

Variable aleatoria continúa: es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; ésta puede asumir un infinito número de valores y éstos se pueden medir.

Ejemplos:

La estatura de un alumno de un grupo escolar.

El peso en gramos de una moneda.

La edad de un hijo de familia.

Las dimensiones de un vehículo.

Experimento aleatorio

Dado un experimento aleatorio cualquiera, una variable aleatoria es una transformación

X del espacio de resultados al conjunto de números reales, esto es: Formula.

Podemos suponer que los posibles resultados del experimento aleatorio son los diferentes números reales x que la función X puede tomar. Ilustramos de manera gráfica el concepto de variable aleatoria en la siguiente figura:

De este modo podemos suponer entonces que el experimento aleatorio tiene dos valores numéricos posibles: 0 y 1.

Observe que los números 0 y 1 son en realidad arbitrarios y bien pueden ser escogidos otro par de números reales.