Flashcards
Probabilidade
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- 1Considere o conjunto de eventos possíveis no lançamento de um dado. Nesse caso, temos: Espaço Amostral de Eventos ( ): representa todo o conjunto de eventos possíveis.Exemplo: se estamos falando de um lançamento de um dado de seis faces, teríamos o espaço amostral . Evento (A): é um evento qualquer para o qual se deseja calcular a probabilidade de ocorrência. Exemplo: se queremos saber qual a probabilidade de o lançamento ser maior ou igual a 5, temos que A = {5, 6}. Além disso, temos algumas operações importantes. Vamos a elas.
- 2Intersecção (∩) é representada pela conjunção E. Por exemplo, considere dois eventos distintos. A é o evento anterior, ou seja, A = {5,6}. Já o evento B é o lançamento resultar em número ímpar, portanto tem-se B = {1,3,5}. A intersecção, representada por A ∩ B, corresponde ao evento de acontecer A e B simultaneamente. Para isso, precisamos tomar os elementos comuns entre esses dois conjuntos.União : é representada pela conjunção OU. A união, representada por A ∪ B, corresponde ao evento de acontecer, pelo menos, um dos dois eventos A ou B. Para isso, basta agrupar os elementos de ambos os conjuntos, sem repetir os elementos em comum
- 3Os axiomas de Kolgomorov são um conjunto de definições básicas para a função que define a probabilidade de ocorrência de um evento. São muito importantes no âmbito da Matemática Pura, porém, em concursos, eles só são cobrados literalmente – ou seja, uma questão bem decorebaAgora, vejamos quais são esses tais axiomas. Primeiro Axioma: a probabilidade de um evento qualquer é um número real não negativo: Segundo Axioma: a probabilidade de todo o espaço amostral é igual a 1:
- 4O segundo axioma define a probabilidade total. Para Kolmogorov, a probabilidade deve ocupar sempre valores entre 0 e 1 (ou 0% e 100%). Dessa forma, o conjunto universo, que corresponde ao máximo da probabilidade, será a situação correspondente à probabilidade igual a 1.Terceiro Axioma: para eventos disjuntos, a probabilidade da união é a soma das probabilidades: O terceiro axioma é o mais importante para questões de prova. Trata sobre a união de eventos mutuamente exclusivos, que são fruto de conjuntos disjuntos.
- 5Dois eventos mutuamente exclusivos são aqueles, cuja intersecção é nula. Ou seja, a probabilidade de eles acontecerem simultaneamente é nula. Uma palavra-chave para a união de dois eventos é o operador OU. Guarde-o muito bem. Quando dizemos “Qual a probabilidade de o dado dar 5 ou 6?”, na verdade, temos dois eventos.Como esses eventos são mutuamente exclusivos – o dado não pode dar 5 e 6 ao mesmo tempo –, temos que a probabilidade de dar 5 ou 6 é igual à soma das probabilidades.
- 6Você precisa saber que, no conceito clássico, as probabilidades de todos os eventos são iguais. Na Matemática, em especial, no estudo de conjuntos, é comum o uso do símbolo “#”,que significa “número (de)”.or exemplo, considere que temos um dado não viciado de seis faces. Qual é a probabilidade de obtermos, em um lançamento, o número maior ou igual a 5? Ora, nesse caso, o total de possibilidades são 6, pois o nosso espaço amostral é. No entanto, apenas dois desses eventos são favoráveis (5 ou 6). Assim, temos:
- 7O conceito clássico é o mais importante para a sua prova, porque frequentemente utiliza conceitos de Análise Combinatória, ou seja, a contagem para o cálculo de probabilidades. Em questões de prova, é muito comum ser útil calcular apenas os eventos não favoráveis. Nesse caso, tem-se uma interessante expressão. Pelo Princípio da Inclusão e Exclusão, o número de eventos favoráveis será igual ao total de eventos menos os não favoráveis.Em muitos casos, não é possível fazer a suposição de que os vários eventos são equiprováveis. Por exemplo, qual a probabilidade de uma pessoa nascer loira? Suponha que tenhamos o seguinte espaço amostral de eventos para a cor do cabelo: = {loiro, ruivo, castanho, preto} Não faz sentido nenhum dizer que a probabilidade de uma pessoa nascer ruiva é a mesma de ela nascer de cabelo castanho, não acha?
- 8Por isso, nesses casos, utilizamos o conceito frequencial. Para isso, simplesmente fazemos observações sobre quantas pessoas nasceram com cada cor de cabelo e calculamos a probabilidade pela razão entre o número de pessoas loiras e o total.Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um deles não influencia na ocorrência do outro. Nesse caso, aplica-se diretamente o Princípio Fundamental da Contagem (PFC).
Se A e B são dois eventos independentes, tem-se que: Obs.: Como exemplo, temos o lançamento consecutivo de dois dados não viciados. Por exemplo, qual é a probabilidade de, em dois lançamentos de um dado, obtermos dois números iguais a 6? Considerando que o dado é não viciado, os resultados dos lançamentos são independentes. Por isso, podemos simplesmente aplicar o teorema que acabamos de ver. - 9Por outro lado, dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem acontecer simultaneamente. É o caso de A: fazer sol e B: chover. Chover e fazer sol são dois eventos mutuamente exclusivos, ou seja, a probabilidade de ocorrerem simultaneamente é igual a zero.Dois eventos são complementares quando:
• a probabilidade de ocorrência simultânea é nula. Assim, a probabilidade da intersecção é igual a zero;
• a união entre eles corresponde ao próprio conjunto universo. - 10Exemplo: no lançamento de uma moeda, podemos definir dois eventos: “cara” e “coroa”. Eles são eventos complementares, porque é impossível que o lançamento seja simultaneamente cara e coroa, e, ao mesmo tempo, não existe outra possibilidade – o conjunto universo de lançamento é formado por esses dois elementos.Uma forma simples de obter um evento complementar é por meio da negação., o complementar da probabilidade de “ser sorteada uma bola azul” é igual a “não ser sorteada uma bola azul”. A técnica dos eventos complementares pode ser muito útil em diversas questões, porque, em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade complementar que calcular a probabilidade pedida diretamente.
- 11Para calcular a probabilidade da união de dois eventos, devemos calcular o número de elementos dessa união. Podemos começar somando os elementos de A com os elementos de B. Perceba, no entanto, que os elementos da intersecção foram contados duas vezes. Por isso, precisamos retirar suas repetições, de modo que eles sejam contados apenas uma vez.Agora, podemos calcular a probabilidade do evento união dividindo pelo número de elementos do espaço amostral. Sabemos que essas razões representam probabilidades. Portanto, chegamos a uma importantíssima expressão: Obs.: Podemos generalizar essa expressão para três eventos. Caso tenha curiosidade, você poderá tentar deduzir, porém isso vai dar um pouco de trabalho.
- 12É só você se lembrar de que o sinal vai alternando. 1 a 1 é positivo; as probabilidades 2 a 2 entram com sinal negativo; 3 a 3 positivo; e assim por diante. Eu nunca vi em provas de concurso, mas, se a questão colocar uma união de quatro ou mais eventos, você pode continuar: as intersecções 4 a 4 entram com sinal negativo, as 5 a 5 com sinal positivo e por aí vai.A probabilidade condicional trata da dependência de eventos. A definição da Probabilidade Condicional é: Como vimos no estudo de Eventos Independentes, se dois eventos são independentes, podemos escrever que a probabilidade de intersecção entre eles é igual ao produto das duas probabilidades.
- 13Perceba que o fato de a tarefa ter sido entregue a um departamento influencia na probabilidade de falha nessa tarefa. Sendo assim, não são eventos independentes.O Teorema de Bayes é uma forma de calcular as probabilidades condicionais quando todos os dados forem fornecidos na forma de percentuais, e não de valores absolutos,
- 14eorema: a probabilidade de um evento A qualquer submetido a várias condições C1, C2, ..., Cn, todas mutuamente excludentes entre si, é igual ao somatório de todas as probabilidades das condicionantes P(C1), P(C2), ..., P(Cn) pelas respectivas probabilidades condicionais P(A|C1), P(A|C2), ..., P(A|Cn).Podemos também calcular as condicionantes inversas. Para isso, utilizamos o Teorema de Bayes. Obs.: Teorema de Bayes: considere um evento A, submetido a diversas condições C1, C2,..., Cn, todas mutuamente excludentes entre si. Sabendo que o evento A aconteceu, a probabilidade
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- Concursos Públicos Raciocínio Lógico Flashcards on Probabilidade, created by Suzana Barbosa Bezerra on 15/12/2022.
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- Suzana Barbosa Bezerra
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