Matemática Discreta

Matemática Discreta

1. Relações

   • R: A -> B, onde A é o conjunto de partida e B é o de chegada. A x B
     • Ex: Se A={0, 1} e B={-2, -1}
       • O domínio de R é: em A A Imagem de R é: em B
   • Endorrelação
     • Relação de um conjunto consigo mesmo. Ex: A x A
     • Grafo
       • Ex: Se A={0,1}, então AXA: {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}
   • Matriz
     • • Vai 1 onde se forma par ordenado
   • Relação inversa
     • A relação inversa é dada pela inversão dos componentes dos pares ordenados pertencente ao conjunto
       • Ex: Seja A={(1,2), (2,2), (2,3)}
         • A relação inversa é dada por: A-¹={(2,1), (2,2), (2,3)}

2. Propriedades de Relações

   • Reflexivas
     • • Ex: R={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
         • É simétrica, pois todo elemento está se relacionando consigo mesmo
           • Existe (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)
         • A diagonal principal dessa matriz contém somente o valor (1)
         • O Grafo deve conter um laço, ou seja, uma seta para si mesmo
   • Irreflexivas
     • • Ex: R={(0,1), (1,2), (2,1)}
         • É irreflexiva, pois não existe um elemento relacionado consigo mesmo
           • Não existe (0,0), (1,1), (2,2)
         • A diagonal principal dessa matriz contém somente valor (0)
         • No grafo não pode existir nenhum laço
   • Simétrica
     • • Ex: R={(0,2), (2,0), (2,2)}
         • É simétrica, pois um elemento possui seu inverso
           • Existe (0,2) e (2,0) que é seu correspondente
         • A metade acima da diagonal principal é a imagem espelhada da metade de baixo, ou seja, onde possuir (1) do outro lado será (1)
         • No grafo, entre duas bolinhas, ou existe 2 setas, ou não existem nenhuma
   • Anti-Simétrica
     • • Ex: R={(1,1), (1,2), (2,3), (1,3), (4,4)}
         • É anti-simétrica, pois não existe um elemento que possua seu inverso
           • Não existe (2,1) que seria correspondente de (1,2)
         • A metade acima da diagonal é o inverso da metade de baixo, ou seja, onde possuir (1) do outro lado será (0)
         • No grafo, entre duas bolinhas, não pode existir duas setas
   • Transitiva
     • • Ex: R={(1,1), (1,2), (2,3), (1,3), (4,4)}
         • É transitiva, pois o elemento possui (a) e (b) e (a) está relacionado com (b) e (b) está relacionado com outro elemento (c), então (a) tem que estar relacionado com (c)
           • O (b) de (1,2) com o (a) (2,3) formam o elemento (1,3) que existe no conjunto
         • Sempre que uma bolinha (a) se ligar a uma bolinha (b) e a bolinha (b) a um vértice (c), então deve haver uma bolinha que tenha uma seta de (a) para (c)

3. TODOS OS ELEMENTOS , APRESENTADOS AQUI, SÃO PARES ORDENADOS

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