LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS

LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS

1. Medidas de los ángulos

   • sistema sexagesimal
     • un sistema de numeración en base 60, es cada unidad se divide en 60 unidades más pequeñas.
     • cada grado(º) está formado por 60 minutos (′) y, a su vez, cada minuto está formado por 60 segundos (′′).
     • Suma de dos ángulo
       • Paso 1:Las unidades de los dos ángulos (grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos) y resolvemos la suma.
       • Paso 2: Si el número de segundos sobrepasa los 60”, dividimos dicho número entre 60. El cociente se añade a los minutos y el resto se queda como segundos.
       • Paso 3:caso de que se superen los 60′, repetimos el procedimiento para los minutos. El resultado obtenido es el resultado de la suma de
     • Resta de ángulo
       • Paso 1: las unidades de los dos ángulos (grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos).
       • Paso 2: Si el número de segundos del minuendo es inferior al del sustraendo, convertimos un minuto del minuendo en sesenta segundos (1′ = 60”).
       • Paso 3: En el caso de que el número de minutos del minuendo sea inferior al del sustraendo, repetimos el procedimiento y convertimos un grado en 60 minutos (1 ̊ = 60′).
       • Paso 4: Resolvemos la resta.
     • Multiplicación de un ángulo por un número entero
       • Paso 1: Multiplicamos por el número entero los grados, minutos y segundos por separado.
       • Paso 2: Si el número de segundos resultante sobrepasa los 60”, dividimos dicho número entre 60. El cociente se añade a los minutos y el resto se queda como segundos.
       • Paso 3: En el caso de que se superen los 60′, repetimos el procedimiento para los minutos. El resultado obtenido es el resultado de la multiplicación.
     • Divisíón de un ángulo por un número entero
       • Paso 1: Dividimos los grados entre el número entero. El cociente son grados y el resto, multiplicado por sesenta, debe añadirse a los minutos.
         • Paso 2: Repetimos el procedimiento para los minutos. Si el resto no es cero, lo multiplicamos por sesenta para obtener su equivalente en segundos.
       • Paso 4: Unimos el resultado de los tres cocientes para obtener el resultado de la división.
       • Paso 3: Repetimos el procedimiento para los segundos.

2. Clasificación de los ángulos

   • Según su amplitud
     • Ángulo nulo
       • Los dos lados son coincidentes, por lo tanto, forman un ángulo de 0 ̊.
     • Ángulo recto
       • Sus lados son perpendiculares y el ángulo que se forma es de 90 ̊.
     • Ángulo agudo
       • Sus lados forman un ángulo mayor que 0 ̊ y menor que 90 ̊, es decir, el ángulo tiene una abertura menor que un ángulo recto.
     • Ángulo obtuso
       • Sus lados forman un ángulo mayor que 90 ̊ y menor que 180 ̊, es decir, tiene una abertura mayor que un ángulo recto.
     • Ángulo llano
       • Sus lados están sobre una misma recta, es decir, forman un ángulo de 180 ̊.
     • Ángulo completo
       • Sus lados son coincidentes, es decir, forman un ángulo de 360 ̊.
   • Según la posición de sus semirrectas
     • Ángulo cóncavo
       • La amplitud es mayor que 180 ̊ y menor que 360 ̊.
     • Ángulo convexo
       • La amplitud es mayor que 0 ̊ y menor que 180 ̊.
   • Ángulos consecutivos y adyacentes
     • Ángulos consecutivos
       • Poseen el mismo vértice y tienen un lado común.
     • Ángulos consecutivos
       • Tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas y juntos equivalen a un ángulo llano.
   • Ángulos complementarios y suplementarios
     • Según el ángulo que forman sus lados (dos ángulos que suman un ángulo recto o un ángulo llano)
       • Ángulos complementarios
         • Dos ángulos A y B son ángulos complementarios si suman 90 ̊. Si conocemos A, obtenemos B con la siguiente operación: B = 90° − A
       • Ángulos suplementarios
         • Dos ángulos A y B son ángulos suplementarios si suman 180 ̊. Si conocemos A, obtenemos B con la siguiente operación: B = 180° − A

3. Operaciones gráficas con ángulos

   • suma
     • sumar dos ángulos gráficamente,dibujar los dos ángulos de manera consecutiva,compartiendo el vértice y un lado, para dar lugar a otro ángulo que los comprenda a ambos.
   • Resta
     • restar dos ángulos gráficamente,superponerlos, de manera que compartan vértice y un lado. Así, el ángulo mayor comprende al menor, y la parte restante es la diferencia entre ambos, es decir, el resultado de la resta.
   • Multiplicación por un número natural
     • multiplicar grá camente un ángulo por un número natural, es necesario colocar el ángulo en posición consecutiva consigo mismo tantas veces como indique el número natural.
   • División entre un número natural
     • dividir un ángulo grá camente, primero se debe realizar la división de forma numérica y después representar los ángulos resultantes con el transportador.
   • Construcción de rectas paralelas
     • Paso 1: Centramos el compás en P y trazamos un arco de circunferencia con una abertura cualquiera que corte con r. Llamamos A al punto de intersección entre el arco y la recta r.
       • Paso 2: Centramos el compás en A y, manteniendo la misma abertura, trazamos otro arco que pase por P y corte r. Llamamos B al punto de intersección entre el arco y la recta r.
         • Paso 3: Con el compás, tomamos la abertura desde B a P.
           • Paso 4: Con la nueva amplitud, centramos el compás en A y marcamos la intersección con el arco que pasa por A. Llamamos C a este punto.
             • Paso 5: Si unimos P y C con una regla, obtenemos la recta s, que es paralela a la recta r.
   • División de un segmento en partes iguales
     • Paso 1: Desde el extremo A del segmento trazamos con la regla una semirrecta r, que puede tener cualquier inclinación.
       • Paso 2: Sobre la semirrecta r, construimos segmentos iguales, uno a continuación del otro. Para ello, centramos el compás en A y, con una abertura cualquiera, trazamos un pequeño arco sobre r. Repetimos el proceso centrando el compás en la intersección del pequeño arco con r y mantenemos la misma abertura. Repetimos este paso tantas veces como divisiones queramos hacer.
         • Paso 3: Trazamos con la regla una recta que pase por el extremo del último segmento y por el punto B.
           • Paso 4: Con la escuadra y el cartabón, trazamos rectas paralelas a la que hemos dibujado en el paso anterior. Las intersecciones de estas líneas con AB serán todas las divisiones del segmento.
             • Después
               • Paso 1: Dibujará el primer lado.
               • Paso 2: Dibujará el segundo lado contiguo.
               • Paso 3: Dibujará los otros dos lados que faltan para completar la cuadrícula.
               • Paso 4: Dividirá los cuatro lados en ocho partes iguales.
               • Paso 5: Trazará la cuadrícula y pintará las casillas de blanco y negro.

4. Construcciones con regla y compás

   • Construcción de rectas perpendiculares
     • Paso 1: Centramos el compás en A y trazamos un arco con una abertura cualquiera. Llamamos C a la intersección del arco con la recta r.
       • Paso 2: Centramos el compás en C y, manteniendo la misma abertura, marcamos la intersección con el arco. Llamamos D a este punto.
         • Paso 3: Centramos el compás en D y, manteniendo la misma abertura, generamos un nuevo arco que corte el arco dibujado en el primer paso. Llamamos E al punto de intersección entre los dos arcos.
           • Paso 4: Centramos el compás en E y, manteniendo la misma abertura, marcamos la intersección con el arco creado en el paso anterior. Llamamos F a este punto.
             • Paso 5: Si unimos F y A con una regla, obtenemos la recta s, que es perpendicular a la recta r.

5. Construcciones con GeoGebra

   • Paso 1: Con la herramienta Semirrecta trazamos una semirrecta r desde uno de los extremos del segmento AB.
     • Paso 2: Dividimos la semirrecta r en cuatro partes iguales. Para ello, seleccionamos la herramienta Circunferencia (centro, radio) y dibujamos cuatro circunferencias del mismo radio. La primera circunferencia la centramos en B y marcamos el punto de intersección con r, que será D. La segunda circunferencia la centramos en D y marcamos el punto de intersección con r, que será E, y así sucesivamente.
       • Paso 3: Con la herramienta Segmento unimos los puntos G y A.
         • Paso 4: Para hacer las divisiones en el segmento AB, con la herramienta Recta paralela trazamos paralelas a h que pasen por los puntos F, E y D.
           • Paso 5: Marcamos las intersecciones de estas paralelas con el segmento AB y las llamamos H, I y J. Podemos ocultar todas las rectas y puntos intermedios, ya que no los necesitamos para el dibujo de las vías del tren.
   • Construcción de rectas perpendiculares
     • Paso 1: Utilizamos la herramienta Recta perpendicular y trazamos rectas perpendiculares a AB que pasen por H, I y J. Para ello, pulsamos sobre el punto y después sobre el segmento AB.
     • Paso 2: Para comprobar que realmente son líneas perpendiculares y el ángulo entre ellas es de 90 ̊, podemos usar la herramienta Ángulo y hacer clic en las rectas vertical y horizontal.
   • Construcción de rectas paralelas
     • Paso 1: Seleccionamos la herramienta Recta paralela y, haciendo clic sobre el segmento AB y arrastrando el cursor hacia la derecha, la dibujamos donde creamos conveniente.