Geometria Espacial

Geometria Espacial

1. e a análise de sólidos no espaço, ou seja, é a geometria para objetos tridimensionais, diferente da geometria plana, que é o estudo de figuras bidimensionais.

2. É importante compreendermos que os elementos primitivos ponto, reta, plano e espaço são a base da geometria e que eles não possuem uma definição.

3. Lembrando que, na geometria espacial, estamos trabalhando com três dimensões, sendo elas: largura, altura e comprimento, ou, em outros momentos, largura, profundidade e comprimento.

4. principais os poliedros: paralelepípedo, cubo e demais prismas, além dos conhecidos como sólidos de Platão; e os corpos redondos: cone, cilindro e esfera.

   • Além do reconhecimento desses sólidos, é importante compreender que os cálculos de volume e de área total possuem fórmulas específicas para cada um dos tipos.
   • Os sólidos geométricos podem ser classificados como: Poliedros e Corpos redondos
     • Poliedros: Sólidos fechados que possuem faces poligonais, compostos por vértices, arestas e faces, são eles: os prismas, as pirâmides e os sólidos de Platão (tetraedro, cubo, dodecaedro, icosaedro, cubo, dodecaedro).
       • Pirâmide: é o conjunto de segmentos de reta cujas extremidades são um polígono e um ponto fora do plano que contém esse polígono.
         • Elementos da pirâmide: Faces, Arestas, Vértices, Vértice da pirâmide, Base, Arestas da base, Arestas laterais, Faces laterais e Altura da pirâmide .
         • Área total: Al + Ab
         • Classificação: As pirâmides podem ser classificadas de acordo com o seu número de faces
           • Pirâmide pentagonal: possui um pentágono como base.
           • Pirâmide quadrangular: possui um quadrilátero como base
           • Pirâmide triangular: possui um triângulo como base.
           • Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono, composta de sete faces: seis faces laterais e face da base.
           • Pirâmides Retas: que formam um ângulo de 90º; Pirâmides Oblíquas: que apresentam ângulos diferentes de 90º.
         • Volume=1/3 Ab.h
       • Relação de Euler: V – A + F = 2
       • Elementos do poliedro: Aresta, Vértice e Face.
       • Sólidos de Platão: são casos particulares de poliedros, Platão relacionou-os com a criação do Universo, vinculando-os a elementos da natureza.
         • Classificação dos Sólidos de Platão:
       • prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria espacial.
         • Elementos do prisma: Bases do prisma, Faces do prisma, Faces laterais, Arestas, Arestas da base, Arestas laterais, Vértices e Diagonais
         • Classificação
           • considerando o número de lados de suas bases, que são congruentes.
             • Um prisma cujas bases são pentágonos é chamado de prisma pentagonal.
             • Um prisma cujas bases são quadriláteros é chamado de prisma quadrangular.
             • Um prisma cujas bases são triângulos é chamado de prisma triangular.
             • Um prisma cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos que contêm suas bases é chamado de prisma reto. Caso contrário, o prisma é chamado de oblíquo.
           • considerndo o ângulo entre as arestas laterais e as bases
             • Um prisma cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos que contêm suas bases é chamado de prisma reto. Caso contrário, o prisma é chamado de oblíquo.
           • Paralelepípedo é uma figura geométrica espacial que faz parte dos sólidos geométricos.
             • Classificação
               • Paralelepípedos Oblíquos: possuem arestas laterais oblíquas à base
               • Paralelepípedos Reto: possuem arestas laterais perpendiculares à base, ou seja, apresentam ângulos retos (90º) entre cada uma das faces.
             • Diagonais: D = √a2 + b2 + c2
         • Área Lateral: Al = n . a
         • Área Total: At = Sl+ 2Sb
         • Volume do Prisma: V = Ab.h
   • Corpos redondos são sólidos geométricos, e são eles: Cilindro - Cone - Esfera
     • Essas figuras possuem características semelhantes, como: São sólidos que possuem as bases em forma de círculo. São sólidos que colocados em um plano inclinado rolam.
       • Podemos observar alguns objetos que possuem as formas de um corpo redondo, como: Cilindro: cano, tubo de caneta, rolo de papel higiênico, canudo, copo, etc. Cone: Casquinha de sorvete, chapéu de festa de criança, etc. Esfera: bola de futebol, bolinha de gude, etc.
       • Os corpos redondos e os poliedros possuem características semelhantes. Ao compararmos o cilindro com o prisma percebemos que possuem duas bases e se compararmos o cone com a pirâmide percebemos que possuem apenas uma base e todas as arestas que saem dessa base se encontram em um único vértice.
     • Cone é um sólido geométrico que faz parte dos estudos da geometria espacial. Ele possui uma base circular (r) formada por segmentos de reta que têm uma extremidade num vértice (V) em comum. Além disso, o cone possui a altura (h), caracterizada pela distância do vértice do cone ao plano da base.
       • Elementos do Cone: g: geratriz do cone h: altura do cone r: raio da base v: vértice
       • Classificação do Cone: cone reto e cone oblíquo.
         • No cone reto podemos aplicar a relação de Pitágoras para o cálculo da geratriz (g), do raio da base (r) e da altura (h), pois vimos que o cone pode ser formado através da revolução do triângulo retângulo. Comparando os elementos do cone aos do triângulo retângulo temos:
           • Geratriz no cone, hipotenusa no triângulo. Altura no cone, cateto no triângulo. Raio da base no cone, cateto no triângulo. Relação: r² + h² = g²
       • Área da base Por ser uma circunferência, a área da base de um cone é dada pela seguinte expressão: Ab = п.r2
       • Área Lateral: formada pela geratriz do cone, a área lateral é calculada através da fórmula: Al = п.r.g
       • Área Total: para calcular a área total do cone, soma-se a área da lateral e a área da base. Para isso utiliza-se a seguinte expressão: At = п.r (g+r)
       • O volume do cone corresponde a 1/3 do produto da área da base pela altura, calculado pela seguinte fórmula: V = 1/3 п.r2. h
     • Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos estudos de geometria espacial.
       • Alguns exemplos de esfera são o planeta, uma laranja, uma melancia, uma bola de futebol, dentre outros.
       • Superfície Esférica: corresponde ao conjunto de pontos do espaço no qual a distância do centro (O) é equivalente ao raio (R). Cunha Esférica: corresponde à parte da esfera obtida ao girar um semicírculo em torno de seu eixo. Fuso Esférico: corresponde à parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semicircunferência de um ângulo em torno de seu eixo. Calota Esférica: corresponde a parte da esfera (semiesfera) cortada por um plano.
       • Volume da Esfera Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a fórmula: Ve = 4.п.r3/3
       • Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a fórmula: Ae = 4.п.r2
     • O cilindro ou cilindro circular é um sólido geométrico alongado e arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.
       • Raio: distância entre o centro do cilindro e a extremidade. Base: plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases (superior e inferior). Geratriz: corresponde à altura (h=g) do cilindro. Diretriz: corresponde à curva do plano da base.
       • Classificação dos Cilindros: Cilindro Reto e Cilindro Oblíquo
       • O chamado “cilindro equilátero” ou “cilindro de revolução” é caracterizado pela mesma medida do diâmetro da base e da geratriz (g=2r). Isso porque sua seção meridiana corresponde a um quadrado.
       • Área da Base: Para calcular a área da base do cilindro, utiliza-se a seguinte fórmula: Ab= π.r2
         • O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura (geratriz): V = Ab.h ou V = π.r2.h
       • Área Lateral: Para calcular a área lateral do cilindro, ou seja, a medida da superfície lateral, utiliza-se a fórmula: Al= 2 π.r.h
         • Área Total: Para calcular a área total do cilindro, ou seja, a medida total da superfície da figura, soma-se 2 vezes a área da base à área lateral, a saber: At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r2) + 2(π.r.h)

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