Geometria Plana

Geometria Plana

1. Perimetro: equivale a soma das medidas de todos os lados da figura.

2. Área: de modo geral, área é a medida da extensão de uma superfície, expressa em uma unidade padrão preestabelecida.

   • Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados.
     • Trapézio: quadrilátero plano convexo que possui dois lados paralelos.
       • A área de um trapézio é igual à metade do produto da soma das medidas das bases pela medida da altura. Ou seja, A=(B+b)*h/2.
     • Paralelogramo: quadrilátero plano convexo que possui lados opostos paralelos.
       • *Seus lados paralelos são congruentes; *os ângulos opostos são congruentes; *os ângulos adjacentes são suplementares (somam 180°).
       • Retângulo: Seus ângulos são todos congruentes (ou seja, todos retos), os lados opostos são paralelos e congruentes.
         • Quadrado: é um paralelogramo do tipo retângulo e losango, uma vez que seus ângulos são retos e seus lados são congruentes.
           • Relacionando com a formula do Losango: Se L é a medida do lado de um quadrado, pelo Teorema de Pitágoras, temos que D = d = L√2. Assim, a área do quadrado será determinada pela fórmula do losango: A = (L√2 · L√2)/2 ⟹ A = (L² · 2)/2 ⟹ A = L².
             • A área de um quadrado é igual à metade do produto das medidas das diagonais. A = (D · d)/2 = L².
           • A fórmula da área do retângulo pode também ser usada para obter-se a expressão da área de um quadrado. Então, se L é a medida do lado de um quadrado, b = L e h = L, e temos: A = b · h ⟹ A = L · L ⟹ A = L².
             • A área de um quadrado é igual ao quadrado da medida de seu lado. A = L².
         • A área de um retângulo é igual ao produto da medida de dois lados consecutivos, popularmente conhecidos como base (b) e altura (h). Podemos indicar, então, como A=b*h.
       • Losango: Todos os seus lados são congruentes e seu lados opostos são paralelos, dois de seus ângulos são obtusos e dois são agudos.
         • Todo losango tem a mesma área de um retângulo com altura D e base d/2, como mostram as figuras ao lado.
           • Portanto: A área de um losango é igual à metade do produto das medidas das diagonais. Ou seja, A = D . d/2 ⟹ A = (D · d)/2
       • A área do paralelogramo é igual ao produto da medida da base (b) pela medida da altura (h). Podemos indicar, então, como A=b*h.
   • Triângulo é uma figura plana formada por três segmentos de reta que concorrem.
     • Classificado em relação ao tamanho dos lados:
       • Escaleno: triângulo que possui todos os lados com medidas diferentes;
         • Isósceles: triângulo que possui dois lados com medidas iguais;
           • Equilátero: triângulo que possui todos os lados congruentes.
             • Pelas definições, podemos perceber que todo triângulo equilátero é, também, isósceles.
             • No triângulo equilátero, todos os lados são congruentes, todos os ângulos internos são congruentes e toda altura é também bissetriz e mediana.
               • Em um triângulo equilátero de lado L, temos que sua área poderá ser determinada por A=L ² * √3/4
             • Conhecidos os três lados (a, b e c) de um triângulo, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula de Heron.
     • Classificando em relação ao valor dos ângulos internos:
       • Acutângulo: todos os ângulos internos agudos, ou seja, com medida inferior a 90°;
         • Retângulo: possui um ângulo interno reto (medindo 90°);
           • Obtusângulo: um dos ângulos internos mede mais que 90°.
             • Conhecidos os três lados (a, b e c) de um triângulo, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula de Heron.
               • Vamos utilizar o semiperímetro do polígono - determinado pela metade da soma das medidas dos lados. Ou seja, sendo o semiperímetro p = (a + b + c)/2
                 • Com isso temos a fórmula de Heron como:
           • Área do retângulo = 2*área do triângulo b*h= 2*AT AT=b*h/2
             • Podemos usar a formula apresentada para qualquer triângulo, basta saber a medida de um lado e a altura referente ao lado. Considere, por exemplo, o triângulo ABC da figura a seguir, cuja área queremos determinar.
               • Traçamos paralelas aos lados AB e BC, determinando o ponto D e o paralelogramo ABCD. Consideremos a altura AE de medida h desse paralelogramo.
                 • Área de ABCD=2*área do triângulo ABC ⇒ b*h=2 = área do triângulo ABC ⇒ área do triângulo ABC=(b*h)/2
   • Hexágono regular é uma figura plana que possui 6 lados com a mesma medida.
     • O hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros. Assim, temos que a área do triângulo equilátero é dada por: A = L ² · √3/4
       • Logo, a área de um hexágono regular é dada pela fórmula simplificada: A=3L²√3/2
   • Um polígono regular qualquer é aquele que tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes.
     • Os polígonos regulares podem ser inscritos em uma circunferência. Ao fazer isso, definimos um segmento especial, chamado apótema que pode ser relacionado também com o raio da circunferência.
       • Com auxílio da imagem abaixo, podemos perceber que, se o polígono regular tem n lados, ele pode ser decomposto em n triângulos isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é o lado (L) e a altura é o apótema (a) do polígono regular.
         • Área do polígono = n * l*a/2

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