Números complexos

Números complexos

1. Os números complexos surgem a partir da necessidade de resolução de equações que possuem raiz de números negativos

   • Os números complexos podem ser representados de três formas: a forma algébrica (z = a + bi), composta por uma parte real a e uma parte imaginária b; a forma geométrica, representada no plano complexo conhecido também como plano de Argand-Gauss; e a sua forma trigonométrica, conhecida também como forma polar.
     • Adição de dois números complexos Para realizarmos a adição de dois números complexos z1 e z2, faremos a soma da parte real de z1 e z2 e a soma da parte imaginária, respectivamente. Seja: z1 = a + bi z2 = c + di z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
       • EX:Realização da soma de z1 e z2. z1 = 2 + 3i z2 = 1 + 2i z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 2)i z1 + z2 = 3 + 5i
       • Subtração de dois números complexos Antes de falarmos sobre subtração, precisamos definir o que é o inverso de um número complexo, ou seja, z = a + bi. O inverso de z, representado por –z, é o número complexo –z = –a – bi.
         • Para realizarmos a subtração entre z1 e –z2, assim como na adição, faremos a subtração entre as partes reais e entre as partes imaginárias separadamente, porém é necessário compreender-se que –z2 é o inverso de um número complexo, o que torna necessário a realização do jogo de sinal.
           • EX: Realização da subtração de z1 e z2. z1 = 2 + 3i z2 = 1 + 2i z1 – z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i z1 – z2 = 1 + 1i = 1+ i

2. Multiplicação de números complexos Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator.

   • Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di. Definiremos a multiplicação de z1 e z2 da seguinte forma: z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di) z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i
     • EX: Se z1=2+5i e z2=1+3i o produto será: z1⋅z2=(2+5i)+(1+3i) z1⋅z2=2⋅1+2⋅3i+5i⋅1+5i⋅3i z1⋅z2=2+6i+5i+15i2 z1⋅z2=2+6i+5i+15⋅(−1) z1⋅z2=2+6i+5i−15 z1⋅z2=(2−15)+(6+5)i z1⋅z2=−13+11i
       • Divisão de números complexos Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo z1=a+bi será z1=a−bi.
         • Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real. Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di Definiremos a divisão de z1 e z2 da seguinte forma: z1z2=a+bic+di⋅c−dic−di z1z2=(a+bi)⋅(c−di)c2−(di)2 z1z2=(ac−bd)+(ad+bc)ic2+d2=ac−bdc2+d2+ad+bcc2+d2i
           • Se z1=1+2i e z2=2+3i a divisão será: z1z2=1+2i2+3i⋅2−3i2−3i z1z2=(1+2i)⋅(2−3i)22−(3i)2 z1z2=8−i4+9=8−i13=813−113i
             • Forma trigonométrica de um número complexo Cada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar.
               • Potência de um número complexo: para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.