Geometria Espacial

Geometria Espacial

1. PRISMAS

   • Vista ortogonal de um ponto sobre o plano
     • A vista ortogonal do ponto A sobre o plano a exatamente o ponto de encontro entre esse plano a e reta ortogonal a ele que contém o ponto A
   • Vista ortogonal de uma reta sobre o plano
     • A vista ortogonal entre uma reta r e um plano a pode ser um ponto ou outra reta. O primeiro caso ocorre quando a reta ja é ortogonal ao plano, e o segundo caso ocorre quando a reta r não é ortogonal ao plano. É necessário encontrar um segundo plano ortogonal ao primeiro que contenha a reta r.
   • Vista ortogonal de um segmento de reta sobre o plano
     • Pode ser um ponto ou outro segmento de reta. O que altera entre a reta r e sua vista ortogonal ou entre o segmento de reta e sua vista ortogonal é o ângulo que eles formam com o plano a. A vista ortogonal sempre forma o ângulo nulo 0, e a reta ou segmento inicial forma um ângulo qualquer.
   • Definição
     • Suas superfícies são formados por polígonos
     • Todos eles tem pelo menos dois polígonos congruentes contidos em planos paralelos
     • Todos os polígonos restantes são paralelogramos
     • Podemos dizer que todo sólido geométrico que satisfazer as características anteriores pode ser chamado de prisma
   • Elementos
     • As bases na figura são os pentágonos congruentes ABCDE e FGHIJ, que estão situados nos planos A e B paralelos entre si
     • Na figura, as faces representadas pelos paralelogramos são as faces laterais
     • A distância entre os planos que contêm as bases é chamada de altura, representada pela letra H
     • As arestas das bases são os lados dos polígonos que determinam a base, por exemplo, AB, BC, CD, DE e AE determinam o pentágono que esta no plano B
   • Classificação
     • Prismas oblíquos: Um prisma é classificado como oblíquo quando as arestas laterais não são perpendiculares ás bases. As fases laterais são paralelogramos e as arestas laterais não coincidem com a altura do prisma
     • Prisma reto: Quando as arestas laterais são perpendiculares as bases. As fases laterais são retangulares e as arestas laterais coincidem com a altura do prisma
   • Planificação
     • A planificação de um sólido geométrico é representação de todas as suas superfícies em um mesmo plano
   • Área da base
     • A medida da área da base é igual á medida da área polígono que a define. Ab = área do polígono que definir a base
   • Área lateral
     • Suas áreas é igual á medida da área lateral, representada por Al. Al = soma das áreas das superfícies laterais. Todas superfícies laterais são congruentes
   • Área total
     • É a área da superfície total dos prismas, calculada como a soma da medida das áreas de todas as suas faces. Como sabemos, os prismas tem duas bases, que são congruentes e paralelas entre si, e as demais faces são as laterais
   • Volume
     • O volume é uma grande que mede o espaço ocupado por um corpo sólido geométrico. V = área da base x altura = Ab x h = V=Ab x h
   • Paralelepídedos
     • Se um prisma quadrangular tiver como base um paralelogramo, então esse sólido será chamado de paralelepípedo
     • Paralelepípedo oblíquo: Tem seis faces e oito vértices determinados por paralelepípedo, ou seja, suas arestas laterais são obliquas a base
     • Paralelepípedo retângulos: tem as faces laterais determinadas por retângulo e as bases determinados por paralelogramos
     • Volume: V = a . b. .c

2. CILINDROS

   • Definição
     • Uma superfície lateral que não é dividida em faces, como nos prismas. Um cilindro é definido a partir de um plano a e um círculo contido em a. Seja PQ um segmento não contido em a e não paralelo a ele, chamamos de cilindros a reunião de todos os segmentos paralelos e congruentes a PQ que possuam como uma de suas extremidades um ponto do círculo em a e encontram-se em um mesmo semiespaço entre aqueles determinados por a
   • Elementos
     • Bases: as bases de um cilindro são os dois círculos, superior e inferior. Como as bases são circulares, precisamos da medida de seu raio, representado pela variável r.
     • Eixo: é a reta que passa pelos centros das bases.
     • Geratriz: é qualquer segmento de reta, é representada pela variável g, em que suas extremidades são pontos das circunferência que determinam as bases do cilindro
     • Altura: é a distância entre os planos das bases do cilindro, e sua medida será representada pela variável h
     • Superfície lateral: é a superfície determinada pela reunião de todos os pontos das geratrizes, e sua medida será representadas por Al
     • Superfície total: é a reunião da superfície lateral com as superfícies determinadas pelos círculos das bases, e sua medida será representada por At
   • Classificação
     • Cilindro oblíquo: Se o eixo do cilindro não for ortogonal aos planos das bases, chamaremos esse tipo de cilindro de cilindro oblíquo.
     • Cilindro reto: Se eixo for ortogonal aos planos das bases, chamaremos esse tipo de cilindro de cilindro reto
   • Secção
     • Secção meridiana: A intersecção de um plano que contém o eixo do cilindro e o cilindro gera uma secção chamada secção meridiana. No cilindro oblíquo, ela sera um quadrilátero de área (A). O quadrilátero gerado é um paralelogramo, que tem a medida da área calculada pela equação A = b.h e, de acordo a figura, pode ser expressa por: A = 2r.h
     • Secção longitudinal: A intersecção de todo plano ortogonal ao plano da base do cilindro, ou seja, que contém seu eixo ou é paralelo a ele, gera uma secção chamada de secção longitudinal
     • Secção transversal: A intersecção de todo plano paralelo base do cilindro gera uma secção chamada de secção transversal, que é sempre congruente á base
   • Área da base; Ab = pir2
   • Área lateral: Al = 2pir.h
   • Área total: At = 2pir (r=h)
   • Volume: V = Ab.h V = pir2.h Sempre que um exercício não deixar claro qual valor aproximado devemos utilizar para pi, é correto deixarmos a reposta final em função do número irracional pi
   • Cilindro equilátero
     • Chamamos de cilindro equilátero todo cilindro que tem a secção meridiana na forma de um quadrado h = 2r

3. PIRÂMIDES

   • Definição
     • Pirâmides são sólidos geométricos que apresentam base com formato de um polígono qualquer, e vértice localizado em um ponto fora do plano da base, Todos os segmentos de reta que unem qualquer ponto do polígono da base com o vértice fora do plano constituem uma pirãmide
   • Elementos
     • Base: é determinada pelo polígono contido no plano a, na figura, a base é o polígono hexagonal com vértice da base A, B, C, D, E e F.
     • Vértice da pirâmide: é o ponto V, único ponto que não pertence ao plano que contém a base
     • Altura: é a distãncia entre o vértice V e o plano da base
     • Aresta laterais: são os segmentos de reta que unem o vértice de pirãmide com os vértices da base
     • Aresta da base: são os lados do polígono que determinam a base
     • Face laterais: são os triângulos formados pelo vértice V e dois vértice consecutivo da base
   • Classificação
     • Pirãmide oblíqua: dizemos que uma pirãmide é oblíqua se a projeção do vértice no plano que contém a base não coincide com o centro do polígono da base da pirâmide
     • Pirâmide reta: Dizemos que uma pirãmide é reta se a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base (altura) for seu centro. Em uma pirãmide reta, as arestas laterais são todas congruentes
     • Pirãmide regular: As pirãmides são nomeadas de acordo com o polígono que define sua base. Chamamos de pirãmide regular uma pirãmide reta que tem como base um polígono relugar
   • Elementos das pirãmides regulares
     • Apótema da base (m): segmento de reta que une o centro da base ao ponto médio de um seus lados.
     • Raio da base (r): o segmento de reta que une o centro da base a um de seus vértices. Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência
     • Apótema lateral (g): é a altura das faces laterais, que tem formato triangular
       • H é a altura da pirãmide A é a medida L é a medida da aresta da base
   • Área da base
     • Triãngulo equilátero: l2 raiz de 3/4
     • Quadrado: l2
     • Hexágono regular: 3l2 raiz de 3/2
   • Área lateral: Al = n.l.g/2
   • Área total: At = Ab + Al
   • Volume: Vp1 = Vp2 = Vp3 = V pirâmide

4. CONE

   • Definição
     • Dado um círculo contido no plano B e P um ponto fora de B, chama-se de cone circular
   • Elementos
     • Baae: é determinado pelo cículo contido em um plano qualquer. Como a base é circular, vamos trabalhar com seu raio, cujo comprimento será representado pela variável r
     • Vértice: é um ponto fora do plano da base, na figura, representado pelo ponto V
     • Eixo: é a reta que passa pelo vértice V e pelo centro O da base do cone
     • Geratriz: é dada por todo segmento que une o vértice V do cone com um ponto qualquer da circunferência da base, e seu comprimento será representado pela variável g
     • Altura: é a distância do vértice V ao plano da base, e seu comprimento será representado pela variável h
   • Tipos de cone
     • Cone oblíquo: Se eixo do cone não for ortogonal ao plano da base, chamaremos esse tipo de cone de cone oblíquo
     • Cone reto: se o eixo do cone for ortogonal ao plano da base, chamaremos esse tipo de cone de cone reto. g2 = h2+ r2
   • Secção meridiana
     • A secção meridiana de um cone é definida com o polígono obtido pela intersecção deste sólido com um plano ortogonal á base que contém o eixo do cone
   • Área da base: Ab = pi2
   • Área lateral: Al = pi. r. g
   • Área total: At = pi. r. 9r=g)
   • Volume: Vcone = 1/3pi . r2 . h