Funciones exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales y logarítmicas

1. Funciones exponenciales

   • Definición: Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = a^x, siendo a un número real positivo distinto de 1. Es la correspondencia de cada numero real x con la potencia a^x
   • Caracteristicas: Puede considerarse como la inversa de la función logarítmica. La f(0) siempre es igual a 1. La f(1) siempre es igual a la base. La función exponencial de una suma de valores f(x+x?) es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado. La función exponencial de una resta f(x-x?) es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo.
   • Grafica: Su Dominio es de (-∞,∞) y su Rango es de (0,∞). Si a es mayor que 1, la gráfica es creciente. Si a es mayor que cero y menor que uno, la gráfica es decreciente. Teniendo y=k.a^x, si k es mayor que uno hay expansión en la gráfica; si k es menor que 1 la gráfica se contrae. También tenemos desplazamientos horizontales si y=a^(x-b), y desplazamientos verticales si y=a^x+c.
   • Aplicaciones: En nuestro entorno existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones tenemos que hacer uso de este tipo de funciones. Otro caso es también cuando las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

2. Funciones logarítmicas

   • Definición: Es la función que se expresa como f(x)=〖log〗_a x siendo esta la inversa de la función exponencial y siguiendo la misma regla de que a es la base de la función que siempre va a ser positiva y distinta de 1.
   • Caracteristicas: La función solo existe para valores de x positiva sin incluir el cero. En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que l(og)a 1 = 0, en cualquier base. La función logarítmica de la base es siempre igual a 1. la función logarítmica es continua, y es creciente o decreciente dependiendo el caso.
   • Grafica: Su dominio es (0,∞) y su Rango es (-∞,∞). Tiene asintotas verticales. Si a es mayor que uno la gráfica es creciente; si a es mayor que cero pero menor que 1 la gráfica es decreciente. Teniendo y=k.〖log〗_a x; si k es mayor que 1 en la gráfica se aprecia expansión; en cambio si k es menor a 1, en la gráfica tenemos contracción. Si y=k.〖log〗_a (x-b) habrá desplazamientos horizontales; y si y=k.〖log〗_a x+c habrá desplazamientos verticales.
   • La utilidad de la función logaritmica entra en varias ramas como por ejemplo en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Se usa generalmente para comprimir la escala de medida de magnitudes debido a que el crecimiento es demasiado rápido, esto dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

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