Matemática Aplicada

Matemática Aplicada

1. Limites

   • Base para derivadas
   • Classificam-se
     • Limites Laterais
       • 0 < |?−?| < ? ⇒ |?(?)−?| < ?
         • lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗
       • Este tipo de limite equivale a dizer que consideramos apenas os valores à esquerda ou à direita de x.
     • Indeterminações
       • O limite acima é um exemplo do que chamamos de limite indeterminado da forma 0/0 (“zero por zero”). O problema com esses limites deve-se a dificuldade de dizer por inspeção se o limite existe e, se existir, é difícil de dizer o seu valor.
       • • chamamos de limite indeterminado da forma 0/0 (“zero por zero”). O problema com esses limites deve-se a dificuldade de dizer por inspeção se o limite existe e, se existir, é difícil de dizer o seu valor.
     • Limites Fundamentais
   • Usado para descrever o comportamento de uma função
   • Propriedades de Limites
     • Limite de uma Constante
       • O limite de uma constante é a própria constante
     • Limite da soma
       • O limite da soma de duas funções é a soma dos limites dessas funções
       • • Exemplo
     • Limite da diferença
       • • Exemplo
       • O limite da diferença de duas funções é a diferença dos limites dessas funções.
     • Limite da Raiz
       • O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função.
       • • Exemplo
     • Limite do Quociente
       • O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas
         • • Exemplo
     • Limite do Produto
       • O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas funções
     • Limite de uma Potência
       • O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite.
       • • Exemplo

2. Derivadas

   • Originam-se de Limites
   • Englobam
     • Derivadas laterais
       • Tendo em atenção que a derivada de uma função é definida à custa de um limite e que esse limite existe se e só se existirem e forem iguais os limites laterais, tem-se que
         • • Os limites à esquerda e à direita da razão incremental são o que se define como derivadas laterais da função f, e representam-se por
     • Técnicas de Derivação
       • Simples
         • Funções Elementares
           • São, intuitivamente, aquelas que podem ser escritas como fórmulas explícitas, envolvendo apenas as operações elementares
           • Derivada da função y = x^m
           • Derivada da função y = sen x
           • Derivada da função y = cos x
           • Derivada da função y = a^x
           • Derivada da função y = logax
       • Sofisticadas
         • Regras
           • Baseadas em operações de funções
             • Produto
               • A regra do produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.
             • Quociente
               • A Regra do Quociente diz que a derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos divididos pelo quadrado do denominador.
             • Potência
               • Esta regra é conhecida como regra do “tombo”. Isso se deve ao fato de que a potência n “cai” quando derivamos uma função potência.
                 • • Por exemplo, a derivada de f(x) = x^2 é f'(x) = 2x.
             • Multiplicação por Constante
               • E a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Em outras palavras, a constante “sai” e fazemos apenas a derivada da função.
                 • • Por exemplo, vamos considerar a função f(x) = 3x^4 e sua derivada é:
             • Soma
               • A derivada de uma soma de duas funções f(x) e g(x) é a soma das derivadas de f(x) e g(x).
                 • • Por exemplo, seja h(x) = 3x + 5x². A derivada de h(x) é h'(x) = 3 + 10x.
             • Diferença
               • Esta regra segue a mesma ideia da regra anterior, porém ela se refere à diferença entre duas funções. Em outras palavras, a derivada da diferença entre f(x) e g(x) é a diferença entre as derivadas de f(x) e g(x).
   • No cálculo, a derivada em um ponto de uma função representa a taxa de variação instantânea de em relação a neste ponto.

3. Funções

   • Custo
     • A função custo está relacionada aos gastos efetuados para, produção, ou aquisição, de alguma mercadoria ou produto. Alguns exemplos de gastos: aluguel, transporte, salário, matéria prima, impostos, etc.
       • Custo fixo "CF"
         • Não depende da quantidade produzida.
       • Custo variável "CV(x)"
         • Depende diretamente da quantidade produzida
       • Custo médio
         • O custo médio "CM(x)" é o quociente entre: o custo total "C(x)" e a quantidade "x" produzida. Ele representa o custo de cada unidade produzida
           • CM(x) = C(x) / x
   • Receita
     • A função receita se relaciona com o faturamento bruto que, é arrecadado na venda de determinado produto.
       • R(x) = p ⋅ x
         • "p" é o preço do produto, e, "x" é o número de unidades vendidas
   • Oferta
     • Pode ser representada por O(p). A função oferta, ao contrário da função demanada, é uma função crescente.
   • Demanda
     • A função que associa um preço "p" à procura de mercado, em um período determinado é dita função demanda. Ela está relacionada ao ponto de vista do consumidor. Pode ser representada por D(p). Sabe-se que quando o preço aumenta, a procura diminui, e vice-versa. A função demanda é uma função decrescente.
   • Lucro
     • A função lucro se relaciona com o lucro líquido das empresas, e é dada pela diferença entre a função receita e a função custo.
       • L(x) = R(x) – C(x)

4. Pedro Henrique Rosa Peres Machado - 202110895

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