Logaritmos Decimais

Logaritmos Decimais

1. O sistema de logaritmos decimais foi proposto por Henry Briggs com o propósito de adequar os logaritmos ao sistema de numeração decimal. No caso do sistema decimal, somente as potências de 10 com expoentes inteiros possuem logaritmos inteiros.

   • Os logaritmos dos números compreendidos entre 1 e 10 possuem resultados entre 0 e 1, os compreendidos entre 10 e 100 estão entre 1 e 2, os compreendidos entre 100 e 1000 estão entre 2 e 3 e assim por diante
     • 1- Se N for uma potência de 10 com expoente inteiro então log N é inteiro e igual ao próprio expoente. 2-Para qualquer número N, real e estritamente positivo, temos então: log N = c + m 3-O número inteiro c é chamado de característica do log N.

2. 3. Como obter a característica:

   • A parte inteira do logaritmo do número será igual a –1. Outra opção na determinação da característica do logaritmo de um numeral é relacionada a duas situações: x > 1 e 0 < x < 1. Quando x > 1, a característica do logaritmo é igual ao número de algarismos da parte inteira subtraído de 1. A característica do logaritmo decimal de um número N ≥ 1 é igual ao número de algarismos de sua parte inteira, diminuído de uma unidade.
     • Para calcular a característica de logaN, com N > 0, a > 0 e a ≠ 1, é suficiente colocar N entre duas potências inteiras e consecutivas de base a. 5,31 é a representação simbólica de – 5 + 0,31 e o resultado dessa subtração é – 4,69. Logo: 5,31 = – 4,69

3. 4. Como obter a mantissa:

   • Por não existir nenhum processo simples para ser obtida, ou a mantissa é dada diretamente ou deve ser procurada numa tabela chamada Tábua de Logaritmos ou propriedade
     • A diferença entre logaritmos decimais de dois números está na posição da vírgula, pois a mantissa é a mesma. Os números N e N · 10k, com N > 0 e k ∈ , possuem a mesma mantissa, ou seja, números que “diferem" apenas pela posição da vírgula possuem a mesma mantissa. Se log N = c + m, onde c é a característica e m é a mantissa.

4. 5. Tábua de logaritmos:

   • A tabela fornece diretamente as mantissas de todos os números inteiros de 100 a 999, bem como de qualquer número decimal positivo cuja representação difere dos anteriores apenas pela posição da vírgula. Assim, pelo exemplo anterior, podemos dizer que 0,6955 é a mantissa do logaritmo decimal não só do número 496, como também dos números: 4960; 49600; 49,6; 4,96; 0,496 etc.
     • A mantissa do log 496 é 0,6955, embora na tabela apareça apenas 6955 e, portanto não apareça 0,.

5. Módulo 47 - Logaritmos neperianos

   • John Napier era escocês, nascido em 1550. Ficou muito famoso na matemática, principalmente com a invenção do logaritmo. É por conta dele que o logaritmo natural também é conhecido como logaritmo neperiano. A definição de logaritmo diz que sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.
     • O número real irracional e, chamado número de Napier, vale 2,7182818284590453... · Portanto, e≈2,718 Os logaritmos de base e, chamados logaritmos neperianos e representados por logeN ou nN, são principalmente usados em fórmulas teóricas como, por exemplo, as de limites e derivadas. Têm as mesmas propriedades de qualquer loga ritmo de base a > 1.

6. TRES EXEMPLOS:

   • 1- Usando a tábua de logaritmos. Determine os logaritmos de  log 1490 com as características e Mantissa: Resposta: N = 1490 1- Característica: c = 3 2- Mantissa: m = 0,1732 3- log N = c + m    log 1490 = 3 + 0,1732 = 3,1732
     • 2- Determine o valor de log, utilizando a tábua de logaritmos:   log 226= 2+ 0,35410843= 2.35410843 log 720= 2+ 0,85733249= 2.85733249 log 330= 2+ 0,51851393= 2.51851393 log 35700= 4+ 0,55266821= 4.55266821
       • 3) Se log 2,25 = 0,3521, então log 2250 será: Alternativas: 2.0647 0,3422  3.3521 2.5151 4.3521 Alternativa D: 3.3521 Pois, log 2250= 3+0,3521= 3.3521