ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2

1. OPERACIONES BINARIAS Y SUS PROPIEDADES

2. ESTRUCTURA DE GRUPO

3. ESTRUCTURAS DE ANILLO Y DE CAMPO

   • Sea A un conjunto vacio
     • Y sean + y *
       • 2 operaciones binarias
         • Tienen estructura de anillo sí
           • i) V a, b, c E A
             • a*(b*c) = (a*b)*ca+(b+c) = (a+b)+c
           • iii) E inv. 0 E A tal que
             • 0+a = a, V a E A
           • ii) V a, b E A
             • a+b = b+a
           • iv) V a E A E inv. -a E A
             • tal que -a+a = 0
           • v) V a, b, c E A
             • a*(b*c) = (a*b)*c
           • vi) V a, b, c E A
             • a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
             • (b+c)*a = (b*a)+(c*a)
   • Conmutativo
     • Si V a, b E A
       • a*b = b*a
   • De Unidad
     • Si E inv. 1 E A tal que
       • 1*a = a = a*1
         • V a E A
   • Dominios Enteros
     • Sea (A, +,*) un anillo conmutativo
       • con unidad de por lo menos 2 elementos
         • donde 0 dif. 1; sí
           • a*b = 0 --> a= 0 ó b = 0
             • se dice que
               • (A, +,*)
                 • se cumple
   • Campos
     • Es un dominio entero
     • Sea K un conjunto de por lo menos 2 elementos
       • y sean + y *
         • 2 operaciones binarias definidas en K
           • El sistema (K, + ,*) es un campo sí
             • i) K es un grupo abeliano
               • su elemento identico se denota como 0
             • ii) (K-{0},*) es un grupo abeliano
             • iii) * es distributiva por
               • la izquierda y derecha sobre +

4. ISOMORFISMOS Y HOMOMORFISMOS

   • DEFINICIONES
     • FUNCIONES
       • INYECTIVA
         • PARA CADA VALOR DE Y NO CORRESPONDE UN VALOR DE X
       • SUPRAYECTIVA
         • PARA CADA VALOR DE Y PUEDEN EXISTIR UNO O MAS VALORES DE X
       • BIYECTIVA
         • PARA CADA VALOR DE Y EXISTE UN VALOR DE X
   • ISOMORFISMOS
     • PROVIENE DE
       • ISO = MISMO MORFO= FORMA
     • EN FORMA SENCILLA ES
       • LA IDEA DE DOS SISTEMAS TAN PARECIDOS QUE PARECIERA QUE SON LOS MISMOS
         • EN UNA FUNCION BIYECTIVA
         • EJEMPLO
   • HOMOMORFISMOS
     • Es una función que preserva la estructura entre dos estructuras matemáticas relevantes.
       • UN ANILLO EN CONTRA DE UN CAMPO

5. Propiedades elementales de los grupos

   • Grupo
     • Sea el par (A ,* )
       • Todo elemento de A es invertible en A respecto *
         • Es decir Va’ ε A, Ǝa’ ε A / a*a’ = e
       • (A , *) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo
         • * es asociativa.
           • Es decir Va, Vb, Vc, ε A: → (a*b)*c = a*(b*c)
         • * posee elemento neutro en A.
           • Es decir Ǝe ε A / Va , si a ε A → A*e = e*a = a
       • Donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *
   • Subgupo
     • Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo sí ( B , ) es un grupo.
       • Por ejemplo
         • ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).