TRANSFORMADA Z

TRANSFORMADA Z

1. DEFINICION

   • Contraparte de la transformada de Laplace en el tiempo discreto
     • Representa señales en tiempo discreto en el dominio de la variable compleja z
       • Hace posible analizar ciertas señales discretas que no tienen Transformada de Fourier en tiempo discreto
         • Transformada Z Unilateral
           • Para los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, usada cuando la señal es causal
         • Es usada para resolver ecuaciones en diferencias, estructuras y como puente entre el diseño analógico y digital
     • Es mas sencilla, en cuanto a nociones y su algebra

2. TRANSFORMADA INVERSA Z

   • Se utilizan 3 metodos:
     • Desarrollo en serie de potencias: La estrategia consiste en expandir la transformada Z en una serie de potencias de Z para, seguidamente igualar esta expansión a la definición de Transformada Z
       • Método por inspección: Consiste básicamente en familiarizarse con las tablas de pares de transformación z y luego “realizar ingeniería inversa”.
         • Descomposición en fracciones parciales: Consiste en expresar X(z) en suma de términos simples, donde cada una aparece en la tabla.

3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

   • 1. LINEALIDAD
     • 2. DESPLAZAMIENTO TEMPORAL
       • 3. ESCALADO EN FRECUENCIA
         • 4. DIFERENCIACIÓN CON RESPECTO A Z
           • 5. CONVOLUCIÓN TEMPORAL
             • 6. TEOREMA DEL VALOR INICIAL
               • 7. TEOREMA DEL VALOR FINAL
   • Facilitan el calculo de la transformada Z de funciones más complejas

4. REGION DE CONVERGENCIA R.O.C.

   • Región en el que un conjunto de valores de z hace que la Transformada Z sea convergente, para una secuencia dada
     • PROPIEDADES DE LA R.O.C.
       • La región de convergencia (ROC) en el plano z consiste de un anillo o un disco con centro en el origen 0 ≤ rR < |z| < rL ≤ ∞
         • La Transformada de Fourier de x[n] converge si y solo si la ROC de la transformada Z de x[n] contiene a la circunferencia unidad.
           • No contiene ningún polo.
             • Si x[n] es una secuencia de duración finita, la ROC es el plano z completo, excepto para los valores z = 0 y/o z = ∞.
               • Si x[n] es una secuencia limitada por la izquierda, la ROC se extiende hacia fuera desde el polo finito más exterior de X(z) hasta el valor z = ∞
     • Rango de valores de |z| = r, para los cuales existe la Transformada z de una secuencia y que converge a un valor finito.

5. TRANSFORMADAS Z CONOCIDAS

6. APLICACIONES

   • Es muy útil en el campo de la ingeniería biomédica para análisis de señales y sistemas de tiempo discreto o digital, a través del procesamiento digital de señales biomédicas
     • ANALISIS DE SISTEMAS L.T.I.
       • Se puede relacionar el “mundo digital” con el “mundo analógico” relacionando las Transformadas más utilizadas en esos dominios como son la Transformada Z
         • Existiendo dos formas de hacer este cambio: Transformación bilineal y Transformación impulso-invariante.
       • La manera de enlazar el análisis de los sistemas discretos con la transformada Z va a venir dado por dos propiedades:
         • Estabilidad
         • Causalidad