COMBINATÓRIA

COMBINATÓRIA

1. Permutações

   • Formas de ordenação dos elemento de um dado conjunto finito
   • SIMPLES
     •  Dados N objetos distintos a1, a2, ..., an,  o modo de cada Ordenação desses N é chamada Permutação Simples
     • Dados N objetos distintos a1, a2, ..., an, o modo de cada Ordenação desses N é chamada Permutação Simples
   • C/ ELEMENTOS REPETIDOS
     • Faz-se a permutação com todos os (N) elementos, divide-se pela quantidade de permutações entre os (n1,..., nN) elementos repetidos.
     • Faz-se a permutação com todos os (N) elementos, divide-se pela quantidade de permutações entre os (n1,..., nN) elementos repetidos.
   • CIRCULAR
     • Quando os elementos de um conjunto formam um ciclo. Por exemplo: roda de crianças, pessoas ao redor de uma mesa, etc. Neste tipo de permutação, é necessário a definição do ponto de partida para a contagem, Sendo N objetos, temos N pontos de partida.
     • Quando os elementos de um conjunto formam um ciclo. Por exemplo: roda de crianças, pessoas ao redor de uma mesa, etc. Neste tipo de permutação, é necessário a definição do ponto de partida para a contagem, Sendo N objetos, temos N pontos de partida.

2. Arranjos Simples

   • São subconjuntos com elementos distintos formados por uma quantidade qualquer (p) de elementos, tais arranjos podem possuir  até (n) elementos, sendo que essa quantidade pode ser igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.   
   • São subconjuntos com elementos distintos formados por uma quantidade qualquer (p) de elementos, tais arranjos podem possuir até (n) elementos, sendo que essa quantidade pode ser igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

3. Combinações

   • SIMPLES
     • Quantidade de modos de escolher p objetos distintos entre  n objetos distintos dados
     • Quantidade de modos de escolher p objetos distintos entre n objetos distintos dados
   • COMPLETAS
     • Também chamada de Combinação com Repetição determina a quantidade de modos de escolher p objetos distintos ou não entre  n objetos distintos dados   
     • Também chamada de Combinação com Repetição determina a quantidade de modos de escolher p objetos distintos ou não entre n objetos distintos dados

4. Métodos de Contagem

   • PRINCíPIO ADITIVO
     •   DIVIDIR PARA SOMAR: Atenção ao conetivo “ou” do problema. Em geral divide-se o problema em casos. Para conjuntos distintos, a intersecção é vazia, basta somar os eventos   
   • PRINCÍPIO MULTIPLICATICO
     •    DECISÕES EM SEQUÊNCIA: Atenção no conetivo “e”. Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se para cada uma dessas m maneiras possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o nº de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m.n   
   • PRINCÍPIO DA INCLUSÃO/EXCLUSÃO
     • Forma para contar o número de elementos que pertencem à união de vários conjuntos não necessariamente disjuntos.  
     • Forma para contar o número de elementos que pertencem à união de vários conjuntos não necessariamente disjuntos.
   • PERMUTAÇÃO CAÓTICA
     • Uma permutação(Kn) dos números (1,2,...,n) é dita caótica quando nenhum número está no seu lugar primitivo.
     • Uma permutação(Kn) dos números (1,2,...,n) é dita caótica quando nenhum número está no seu lugar primitivo.
   • LEMAS DE KAPLANSKY
     • Determina o números de modos possíveis de formar um p-subconjunto (subconjuntos com p elementos) de {1,2,...,n} no qual não haja números consecutivos.   
     • sem números consecutivo
       • Determina o números de modos possíveis de formar um p-subconjunto (subconjuntos com p elementos) de {1,2,...,n} no qual não haja números consecutivos.
     • com 1 e n consecutivos
       • Determina o números de modos possíveis de formar um p-subconjunto (subconjuntos com p elementos) de {1,2,...,n} no qual não haja números exceto 1 e n consecutivos.
   • PRINCÍPIO DA REFLEXÃO
     • Geralmente relacionada a uma parte de um gráfico que se pode realizar uma reflexão em torno de um eixo arbitrário, com S: subida e D: descida.   
     • Geralmente relacionada a uma parte de um gráfico que se pode realizar uma reflexão em torno de um eixo arbitrário, com S: subida e D: descida.
   • PRINCÍPIO DAS GAVETAS
     • Se n objetos forem colocados em n-1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos 2 objetos. Equivalente a M objetos forem colocados em N gavetas, então pelo menos uma gaveta contém [(M - 1) / N] + 1 objetos.
     • Se n objetos forem colocados em n-1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos 2 objetos. Equivalente a M objetos forem colocados em N gavetas, então pelo menos uma gaveta contém [(M - 1) / N] + 1 objetos.

5. Triângulo de Pascal

   • Quadro formado pelos  números binomiais  com p representando o número da linha e n representando o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero.   
   • PROPRIEDADES NOTÁVEIS DO T.P.
     • Relação de Stifel
       • Somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha, obtém-se o elemento situado abaixo da última parcela. 
       • Somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha, obtém-se o elemento situado abaixo da última parcela.
     • Relações Combinatórias Complementares
       • Em uma mesma linha do triângulo de Pascal, elementos equidistantes dos extremos são iguais.   
       • Em uma mesma linha do triângulo de Pascal, elementos equidistantes dos extremos são iguais.
     • Teorema das Linhas
       • A soma dos elementos da linha n vale 2^n
       • A soma dos elementos da linha n vale 2 elevado a n
   • NÚMEROS BINOMIAIS
     • Números binomiais, coeficientes binomiais ou ainda Números Combinatórios são números que determinam a combinação de n elementos tomados p a p.   
     • Números binomiais, coeficientes binomiais ou ainda Números Combinatórios são números que determinam a combinação de n elementos tomados p a p.
   • BINÔMIO DE NEWTON
     • Permite escrever na forma canônica o polinómio  correspondente à potência de um binómio para os números reais a e x e um número inteiro positivo n.  
     • Permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio para os números reais a e x e um número inteiro positivo n.
     • Termo Geral
       • Permite determinar o valor de um termo qualquer  T de ordem k + 1 do binômio de Newton.   
       • Permite determinar o valor de um termo qualquer T de ordem k + 1 do binômio de Newton.
   • POLINÔMIO DE LEIBNIZ
     • Fórmula do multinômio de Newton é a generalização do binômio de Newton 
     • Fórmula do multinômio de Newton é a generalização do binômio de Newton
   • Quadro formado pelos números binomiais com p representando o número da linha e n representando o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero.

6. PROBABILIDADE

   • Espaço amostral
     • Explicita o conjunto dos possíveis resultados de um experimento e calcula o número de elementos contidos nele.   
     • Explicita o conjunto dos possíveis resultados de um experimento e calcula o número de elementos contidos nele.
   • Espaço de probabilidade
     • Função P definida para todos os subconjuntos (A) do espaço amostral (chamados EVENTOS) observando-se as condições (1), (2) e (3)   
     • Função P definida para todos os subconjuntos (A) do espaço amostral (chamados EVENTOS) observando-se as condições (1), (2) e (3)
   • Probabilidade condicional
     • Probabilidade a posteriori ou condicional de B dado A é a relação entre a quantidade de elementos da interseção de dois eventos em  relação a quantidade de um deles.   
     • Probabilidade a posteriori ou condicional de B dado A é a relação entre a quantidade de elementos da interseção de dois eventos em relação a quantidade de um deles.
   • Diagrama de árvore
     • Também denominado árvore de probabilidades, pode ser usado para representar um espaço de probabilidade. Podendo ainda ser usado para representar as várias possibilidades de uma permutação ou  combinação (neste caso, é mais adequado chamá-lo de árvore de possibilidades)  
     • Também denominado árvore de probabilidades, pode ser usado para representar um espaço de probabilidade. Podendo ainda ser usado para representar as várias possibilidades de uma permutação ou combinação (neste caso, é mais adequado chamá-lo de árvore de possibilidades)
   • Distribuição binomial
     • Aplica-se a experimentos com apenas dois resultados possíveis, um deles será o sucesso (p) e o outro o fracasso (q).
     • Aplica-se a experimentos com apenas dois resultados possíveis, um deles será o sucesso (p) e o outro o fracasso (q).
   • Teorema Binomial
     • Determina a probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma sequência de n eventos independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada evento é p.   
     • Determina a probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma sequência de n eventos independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada evento é p.

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