Estatística

Estatística

1. Amostragem

   • Inferência estatística
     • Estimação de parâmetro
       • Por ponto
         • Na estimação por ponto, a estimativa do parâmetro populacional corresponde a um único valor estimado. 
         • Estimação desvio-padrão
           • Embora S 2 , conforme definido em (11), seja um estimador justo da variância populacional σ 2 , sua raiz quadrada S não é um estimador justo do desvio padrão populacional σσσ 
       • Por intervalo
         •  Na segunda técnica, constrói-se um intervalo, o qual deverá, com probabilidade conhecida, conter o parâmetro. Neste curso admitiremos, salvo menção em contrário, que a amostragem sempre será aleatória. 
         • Intervalo de confiança
           • A quantidade aleatória é o intervalo [L, U]; o parâmetro θθθ não é considerado aleatório, pois é um valor fixo. 
       • Estimador e estimativa
         • Um estimador(ou estatística) é qualquer função das observações de uma amostra, que será usado no processo de estimação do parâmetro populacional desejado. Chamamos de estimativa um particular valor assumido por um estimador
         • Propriedades
           • Justo
             • Um estimador Θˆ é justo(ou não viesado, ou não viciado, ou não tendencioso) se o seu valor esperado (ou média) for igual ao valor do parâmetro θque se pretende estimar, isto é, se (1) . ˆ ) ( θ Θ= E Um estimador não viesado é aquele que, na média, acerta o valor   correto do parâmetro populacional. 
           • Eficiência
             • Acurácia (individual)
               • A acuráciade um estimador mede a proximidade de cada observação do valor alvo que se procura atingir
             • Precisão (com a média)
               • A precisãode um estimador mede a proximidade de cada observação da média de todas as observações.
             • Eficiente (ENTVM)
               • Um estimador é dito EFICIENTE ou Estimador Não Tendencioso de Variância Mínima(ENTVM) (*), se • for não viesado; • entre os estimadores não viesados, apresentar a menor variância
             • Comparação (EQM)
               • Define-se o EQMcomo a média da diferença quadrática (diferença ao quadrado)entre o estimador e o valor do parâmetro EQM = Variância + Viés² EQM de Estimador Não Viesado = Variância
             • MELVN
               • Uma terceira propriedade desejável de um estimador é que ele seja o Melhor Estimador Linear Não Viesado(MELNV). Para tal, o estimador tem que: • ser não viesado; • ser linear; e • entre os estimadores lineares e não viesados, apresentar a menor variância. 
           • Consistência
             • Um estimador é consistente, se, à medida que a amostra cresce, converge para o verdadeiro valor do parâmetro. Ou seja, quando o tamanho da amostra vai aumentando, o viés (se existir) vai diminuindo e a variância também. Um estimador consistente é aquele que converge para o valor do parâmetro quando o tamanho da amostra tende a infinito. Se o estimador for justo, a condição de consistência equivale a dizer que sua variância tende a zero quando o tamanho da amostra tende a infinito
         • Máxima Verossimilhança
           • Propriedades:
             • Sendo assim, (i) e (ii) estabelecem que o estimador de máxima verossimilhança é aproximadamente um ENTVM. Esse é um resultado desejável. Além disso, ele é razoavelmente fácil de se obter em muitas situações e possui distribuição assintótica normal. Isso explica porque o método de máxima verossimilhança é largamente utilizado na prática. Para usar a estimação de máxima verossimilhança, observe que a distribuição da população deve ser conhecida (ou suposta). 
             • 1. Consistência;
             • 2. Distribuição assintótica (*) normal.
     • Testes de hipóteses
   • Probabilística
     • A amostragem será probabilística (ou aleatória ou casual) se todos os elementos da população tiverem probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. A sua importância decorre do fato de que apenas os resultados provenientes de uma amostra probabilística podem ser generalizados estatisticamente para a população da pesquisa. A obtenção de uma amostra probabilística exige que se obtenha uma listagem com os elementos da população. Ou seja, exige que a população acessível seja igual à população alvo. Nem sempre é possível obter tal listagem na prática, o que teoricamente inviabilizaria a retirada de uma amostra aleatória. Então deve-se recorrer à amostragem não probabilística.
     • Não probabilística.
       • Conveniência(acidental)
         • porConveniência(acidental): o pesquisador seleciona membros da população mais acessíveis;
       • Intencional(Julgamento)
       • Cotas (proporcional)
         • por Cotas(proporcional): o pesquisador entrevista um número pré-definido de pessoas em cada uma das várias categorias.
   • Vício de amostragem
     • Uma amostra não representativa é uma amostra viciadae o vício inerente aos dados dessa amostra é o vício de amostragem.
   • Tipos
     • 1 Amostragem Aleatória Simples
       • A AAS é equivalente a um sorteio lotérico. Nela, todos os elementos da população têm igual probabilidade de pertencer à amostra, e todas as possíveis amostras têm também igual probabilidade de ocorrer
       • Ex.: Sorteio lotérico
     • 2 Amostragem Estratificada
       • A Amostragem Estratificada (AE)é usada quando a população pode ser  dividida em sub-populações ou estratos razoavelmente homogêneos (ex.: departamento, local, idade, tipo de indústria etc.), de forma que cada elemento da população pertença a um e somente um estrato. Depois que os estratos são formados, extrai-se uma amostra aleatória simples de cada um deles. Os melhores resultados são obtidos quando os elementos contidos em cada estrato são o mais similares possível. Há fórmulas disponíveis para se combinar os resultados das amostras de estrato individuais em uma estimativa do parâmetro populacional de interesse. Se os estratos forem homogêneos, o procedimento de amostragem estratificada produzirá resultados tão precisos quanto os da amostragem aleatória simples, mas utilizando um tamanho total de amostra menor.  Por exemplo, considere que a população de uma universidade tenha a seguinte composição: 10% de professores, 15% de funcionários e 75% de alunos. Então uma amostra estratificada proporcional teria 10% de professores, 15% de funcionários e 75% de alunos.
       • Divisão em subpopulações semelhantes
     • 3 Amostragem por Conglomerados
       • 1.1.3 Amostragem por Conglomerados Na Amostragem por Conglomerados (AC), a população é dividida em subpopulações (conglomerados) distintas (quarteirões, residências, famílias, bairros, etc.). Cada elemento da população pertence a um e somente a um conglomerado. Algunsdos conglomerados são selecionados segundo a AAS e todosos indivíduos nos conglomerados selecionados são observados. Ou seja, as unidades de amostragem, sobre as quais é feito o sorteio, passam a ser os conglomerados e não mais os elementos individuais da população. A AC tende a produzir os melhores resultados quando os elementos neles contidos não são similares. No caso ideal, cada conglomerado é uma versão representativa em pequena escala da população inteira. O valor da AC depende de quão representativo é cada conglomerado da população inteira. Se todos os conglomerados forem similares nesse aspecto, a amostragem de um pequeno número de conglomerados produzirá boas estimativas dos parâmetros populacionais.
       • Divisão em bairros. Selecionar número suficiente de conglomerados de forma que constituam uma amostra
     • 4 Amostragem Sistemática – AS
       • 1.1.4 Amostragem Sistemática – AS Os elementos da população apresentam-se ordenados e são retirados periodicamente (de cada k elementos, um é escolhido). Ocorre, por exemplo, no caso da aplicação experimental de uma nova droga em pacientes, quando a ética obriga que haja concordância dos escolhidos.
       • Elementos ordenados escolhidos de forma sistemática
   • Teorema Central do Limite
     • TCL:a soma de um grande número de variáveis aleatórias independentes tem uma distribuição que é aproximadamente normal. 
   • Introduzir texto aqui

2. Distribuições Amostrais

   • Distribuição Amostral da Média
     • Vemos, portanto, que a média em torno da qual devem variar os possíveis valores da estatística X é a própria média da população. Além disso, a variância com que se dispersam os possíveis valores da estatística X é nvezes menor do que a variância da populaçãode onde é retirada a amostra.
     • E(X_) = mi
       • Var(X_) = (Sigma^2)/n
         • DP(X_) = sigma/raiz(n)
     • É normal quase sempre, até em casos de médias de distribuições não normais
   • Distribuição Amostral de uma Proporção
     • E(p^)=p
       • Var(p^) =p*(1-p)/n
   • Distribuição Amostral de S 2
     • E (qui2) = n
       • Var (qui2) =2n
         • Aditividade:
           • Propriedade (aditividade).A soma de duas variáveis independentes 2 1 ν χ e 2 2 ν χ é uma variável 2 21 νν + χ , ou seja, é uma variável 2 χ com ν 1+ν2 graus de liberdade. 
   • Distribuição t de Student
   • Distribuição F de Snedecor

3. n-1

   • Considere, por exemplo, a estatística nXXXX n /)... ( 21 +++= . Ela possui n graus de liberdadeporque nvalores Xi livres devem ser considerados no cálculo da estatística. Por outro lado, a estatística 2 S , por usar X em vez do parâmetro populacional µ, tem um grau de liberdade a menos. Note que o cálculo de 2 S admite que já se conheça o valor de X , para o qual já foram usados todos os valores da amostra. Contudo, quando usamos novamente todos os valores da amostra para determinar 2 S , esses valores têm apenas n– 1 graus de liberdade, pois, dados quaisquer n–1 deles, o valor restante estará determinado, pois já sabemos o valor da média X ; assim, o valor restante não é livre. 

4. Lei dos Grandes Números

   • Lei Forte
     • Lei Forte dos Grandes Números:a média de uma sequência de variáveis aleatórias independentes com mesma distribuição converge, com probabilidade 1, para a média daquela distribuição.
   • Lei Fraca
     • É Provável A lei fraca dos grandes números diz que, para qualquer valor n grande específico, é provável que a média nxxx n /)...( 21 +++ esteja próxima de µ.

5. Variância

   • Soma
     • variância da soma de variáveis independentes é igual à soma das variâncias individuais.

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