Modulo A6

Modulo A6

1. Capítulo 1: Taxa média de variação

   • Taxa média de variação
     • Noção e cálculo
       • Seja f uma função definida no intervalo de números reais [a, b]. O quociente (?(?)−?(?))/(?−?) chama-se taxa media de variação e pode ser representado por t.m.v.[a,b]. Assim, t.m.v.[a,b] = (?(?)−?(?))/(?−?).
     • Interpretação física e geométrica
       • Quando uma função relaciona a distância percorrida com o tempo do percurso, a taxa média de variação é igual à velocidade média.
       • Geometricamente, a taxa média de variação de uma função f num intervalo [a,b] corresponde ao declive da reta que contém os pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)): mAB = t.m.v.[a,b] = (?(?)−?(?))/(?−?)
   • Taxa de variação de uma função
     • Noção e cálculo
       • A taxa de variação ou derivada de uma função num ponto de abcissa a pode ser dada pelo limite da taxa média de variação num intervalo do tipo [a, a + h] quando h tende para zero, ou seja, ?’(?) = lim (ℎ→0)⁡ [(?(?+ℎ)−?(?))/(?+ℎ−?]= lim(ℎ→0) ⁡[(?(?+ℎ)−?(?))/ℎ]
     • Interpretação física e geométrica
       • Quando uma função relaciona a distancia percorrida e o tempo do percurso, a taxa de variação é igual à velocidade instantânea.
       • Geometricamente, a taxa de variação de uma função f num ponto de abcissa a corresponde ao declive da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto, isto é, f ’(a) = mt, onde t é a reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa a.
   • Função derivada
     • Noção
       • Seja f uma função real derivável em todos os pontos de um intervalo A. Chama-se função derivada de f à função de domínio A que a cada valor de A faz corresponder a derivada da função f nesse ponto. A notação usualmente utilizada para a derivada da função f é f ’ ou ??/??
     • Derivada da soma de funções
       • (?+?)^′=?^′+?′
     • Sinal da função derivada e monotonia de uma função
       • Quando a derivada de uma função é positiva num intervalo aberto, a função é crescente nesse intervalo. Quando a derivada de uma função é negativa num intervalo aberto, a função é decrescente nesse intervalo.
     • A derivada e os extremos de uma função
       • Seja f uma função real de variável real de domínio I. Se f for continua em a ϵ I e a função derivada mudar de sinal nesse ponto, então f(a) é um extremo da função f.

2. Capítulo 0: Revisões

   • Equação reduzida da reta
     • A equação reduzida de uma reta não vertical é dada pela expressão ?=??+?, onde ? e ? são números reais. ? representa o declive da reta e ? a ordenada na origem.
   • Estudo intuitivo de propriedades das funções e dos seus gráficos
     • Domínio e contradomínio de uma função
       • Domínio
         • Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se domínio da função e representa-se habitualmente por D. Os elementos deste conjunto chamam-se objetos ou originais.
       • Contradomínio
         • A cada objeto, a função corresponde um e só um elemento do conjunto de chegada, a imagem desse objeto. O conjunto da imagens chama-se contradomínio da função e representa-se habitualmente por C.D. ou D’.
     • Monotonia de uma função
       • Crescente
         • Uma função f é crescente num conjunto A quando, para todos os números reais ? e ? pertencentes a A, se a < b, então ?(?) ≤ ?(?).
       • Decrescente
         • Uma função f é decrescente num conjunto A quando, para todos os números reais ? e ? pertencentes a A, se a < b, então ?(?) ≥ ?(?).
       • Estritamente crescente
         • Uma função f é estritamente crescente num conjunto A quando, para todos os números reais ? e ? pertencentes a A, se a < b, então ?(?)<?(?).
       • Estritamente decrescente
         • Uma função f é estritamente decrescente num conjunto A quando, para todos os números reais ? e ? pertencentes a A, se a < b, então ?(?)>?(?).
     • Extremos de uma função
       • Máximo relativo
         • ?(?) é um máximo relativo de ? se numa vizinhança V de centro ? se verifica que ?(?) ≥ ?(?), para todo ? ∈ ? ∩ ?.
       • Mínimo relativo
         • ?(?) é um mínimo relativo de ? se numa vizinhança V de centro ? se verifica que ?(?)"≤ " ?(?), para todo ? ∈ ? ∩ ?.
       • Máximo absoluto
         • ?(?) é um máximo absoluto de ? se ?(?) ≥ ?(?), para todo ? ∈ ?.
       • Mínimo absoluto
         • ?(?) é um mínimo absoluto de ? se ?(?) ≤ ?(?), para todo ? ∈ ?.