Sistemas lineales invariantes en el tiempo

Definición: Un sistema lineal e invariante en el tiempo, es aquel que, como su propio nombre indica, cumple las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo.
1. Propiedades: Linealidad Un sistema es lineal (L) si satisface el principio de superposición, que engloba las propiedades de proporcionalidad o escalado y aditividad.
  1. Propiedad de Proporcionalidad: significa que cuando la entrada de un sistema es multiplicada por un factor, la salida del sistema también será multiplicada por el mismo factor.
    1. Propiedad de aditividad: significa que si la entrada es el resultado de la suma de dos entradas, la salida será la resultante de la suma de las salidas que producirían cada una de esas entradas individualmente.
Invariabilidad Un sistema es invariante con el tiempo si su comportamiento y sus características son fijas. .
1. Esto significa que los parámetros del sistema no van cambiando a través del tiempo y que por lo tanto, una misma entrada nos dará el mismo resultado en cualquier momento (ya sea ahora o después)
  1. Matemáticamente, un sistema es invariante con el tiempo si un desplazamiento temporal en la entrada x(t-t0) ocasiona un desplazamiento temporal en la salida y(t-t0).
La combinación mediante el principio de superposición de ambas propiedades confiere a los sistemas la característica LTI.
Principio de Superposición con Sistema Invariante en el tiempo Una característica muy importante y útil de este tipo de sistemas reside en que se puede calcular la salida del mismo ante cualquier señal mediante la convolución, es decir, descomponiendo la entrada en un tren de impulsos que serán multiplicados por la respuesta al impulso del sistema y sumados.
Causalidad para los sistema lineales invariantes en el tiempo La salida de un sistema causal depende solo de los valores presentes y pasados de la entrada al mismo. y[n] = x[k]h[n − k]
Invertibilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempo Consideremos un sistema LTI con respuesta al impulso h(t).
1. El sistema es invertible si existe un sistema inverso que, cuando esta conectado en serie con el sistema original, produce una salida igual a la entrada del primer sistema. Mas aun, si un sistema LTI es invertible entonces tiene un inverso LTI. h(t) ∗ h1(t) = δ(t) ∞ k=−∞
Sistemas lineales invariantes en el tiempo en Serie y Paralelo • Serie Si dos o más sistemas están en serie uno con otro, el orden puede ser intercambiado sin que se vea afectada la salida del sistema
1. Los sistemas en serie también son llamados como sistemas en cascada. Un sistema equivalente es aquel que está definido como la convolución de los sistemas individuales.
  1. Paralelo Si dos o más sistemas LTI están en paralelo con otro, un sistema equivalente es aquel que está definido como la suma de estos sistemas individuales.
Algunos sistemas lineales invariantes en el tiempo podrían ser: • La relación de el estiramiento de un resorte en relación con el peso al que es sometido.
1. Sistemas RLC. • Ondas electromagnéticas • Fuentes de voltaje. ¿La convolución como se relaciona con los sistemas lineales invariantes en el tiempo?
  1. La convolución nos ayuda a determinar el efecto que tiene el sistema en la señal de entrada.
  2. Estos sistemas son característicos por su respuesta al impulso, es decir, una señal puede ser descompuesta por una suma finita de impulsos escalados y desplazados.
  3. La convolucion determina la salida del sistema por medio del conocimiento de la entrada y la respuesta al impulso del sistema.

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