Equação Polinomial

Equação Polinomial

1. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

   • O teorema fundamental da Álgebra afirma que toda equação polinomial com coeficientes reais e complexos, tem no campo complexo, pelo menos uma raiz complexa.
     • Portanto, ao demonstrar que as equações polinomiais tem pelo menos uma raiz no campo complexo,, Gauss demonstrou que elas tem exatamente n raízes, sendo n o grau do respectivo polinômio.
   • Toda equação algébrica de grau n, n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz (imaginária ou real)
   • Toda equação algébrica de grau n, n ≥ 1, tem, no máximo, n raízes reais e exatamente n raízes complexas.

2. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO

   • Garante que qualquer polinômio p(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1x1 + a0, de grau n, n ≥ 1, possa ser colocado na forma fatorial.
     • P(x) = an. (x – r1) . (x – r2) … (x – rn), em que an é o coeficiente dominante e r1, r2, r3, ..., rn são as raízes complexas de P(x).

3. Uma equação algébrica (ou polinomial) é do tipo P(x)=0, em que P(x) é um polinômio. Caso o polinômio tenha grau n, a equação terá grau n.

   • OBSERVAÇÃO: os coeficientes de P(x) são chamados coeficientes da equação.

4. NÚMERO DE RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL

   • Toda equação polinomial P(x)=0 de grau n, n ≥ 1, admite n, e somente n, raízes complexas.

5. RELAÇÕES DE GIRARD

   • Albert Girard (1590-1633) estabeleceu relações entre RAÍZES e COEFICIENTES de uma equação polinomial.
     • Na equação do 2º grau, as relações são obtidas por meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a, respectivamente.
     • As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x1, x2 e x3. A decomposição dessa equação permite a determinação de expressões matemáticas capazes de relacionar as raízes da equação.
       • x1 + x2 + x3 = – b/a
       • x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a
       • x1 * x2 * x3 = – d/a
     • Os polinômios do 4º grau possuem a seguinte lei de formação: ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0. Nessa equação polinomial temos, no máximo, a existência de quatro possíveis raízes, as quais quando relacionadas, formam as seguintes expressões:
       • x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
       • x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = c/a
       • x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 + x2 * x3 * x4 = – d/a
       • x1 * x2 * x3 * x4 = e/a

6. TEOREMA DAS RAÍZES IMAGINÁRIAS

   • Se um número imaginário a + bi, com a, b pertence aos R, é raiz de uma equação polinomial de grau n > 0 e de COEFICIENTES REAIS, então o conjugado dele, a - bi, também é raiz dessa equação.
     • OBSERVAÇÕES:
       • Se o número imaginário z é raiz de multiplicidade m de uma equação polinomial de grau n > 0 e de COEFICIENTES REAIS, então o conjugado dele, o oposto de z, é, também, raiz de multiplicidade m dessa equação.
       • Em uma equação polinomial de grau n > 0 e de COEFICIENTES REAIS, o número de raízes imaginárias é par.
       • Uma equação polinomial de COEFICIENTES REAIS e GRAU ÍMPAR admite pelo menos uma raiz real.

7. Beatriz Peixoto Tomázio

   • Sigma Asa Sul
     • 3°E número 4