mate

Cálculo Infinitesimal

1. es una rama de las matemáticas y una ciencia en sí misma, que estudia en esencia el comportamiento de las funciones reales y las sucesiones reales a través de las ideas de lo “infinitamente pequeño” y lo “infinitamente grande”

   • pero tiene dos problemas principales
     • Hallar rectas tangentes a cualquier curva en cualquier punto.
       • a la teoría que de allí se despliega, se le conoce como “Cálculo Diferencial
         • El desarrollo de las teorías del Cálculo Diferencial e Integral, así como el estudio de las sucesiones y series y del cálculo vectorial, están cimentadas y desarrollas en virtud a los conceptos de límite y continuidad, y por ello están expresadas en términos de sus propiedades.
     • Hallar áreas encerradas por cualquier unión de curvas.
       • la teoría que éste problema genera, se le conoce como “Cálculo Integral
   • historia:Los científicos griegos y las primeras nociones
     • Zenón de Elea (490-430 a.C.
       • atribuye
         • el testimonio más antiguo del pensamiento infinitesimal
           • En sus famosas paradojas utiliza de forma indiscutible la noción del infinito
             • con ejes argumentativos
               • contra la pluralidad como estructura de lo real
               • contra la validez del espacio
               • contra la realidad del movimiento
               • contra la realidad del transcurrir del tiempo.
     • Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.)
       • se le atribuye
         • la primera idea intuitiva del concepto de límite
           • proponiendo un metodo para determinar el área encerrada por una curva
             • El método de exhausión consiste en esencia en inscribir un polígono en una región delimitada por una curva dada, de manera tal que el área de la región poligonal se aproxime al área de la región dada, cuya área se pretende determinar a partir del fácil cálculo del área del polígono; luego, se empiezan a inscribir más polígonos en la curva, de tal manera que cada polígono tenga más lados que el anterior, y continuando indefinidamente con este proceso es posible determinar una excelente aproximación del área de la región deseada.
     • Euclides (325-265 a.C.
       • es el escritor de la más magnánima obra científica de la antigüedad: “Los Elementos”
         • donde
           • se recopilan y exponen todos los conocimientos geométricos existentes hasta la época, con la virtuosa genialidad de que los hechos geométricos y teoremas enunciados presentan una abstracción de la realidad, y además están demostrados de manera rigurosa a partir de razonamientos deductivos, convirtiéndose esta obra en el primer acercamiento significativo a la formalidad y cientificidad matemática
     • Arquímedes (287-212 a.C.)
       • el más grande matemático de la antigüedad, realizó múltiples y valiosos aportes correspondientes a nociones y acercamientos conceptuales que conciernen al estudio del cálculo infinitesima
         • entre los mas importantes
           • La ley de la palanca y el equilibrio de los planos
             • donde utiliza
               • principios derivados para calcular las áreas y centros de gravedad de varias figuras planas, incluyendo triángulos, paralelogramos y segmentos parabólicos.
           • Las fórmulas y métodos para calcular el perímetro de la circunferencia y el área del círculo, donde además define el número π de forma geométrica y da a conocer una excelente aproximación de dicho número.
           • la esfera y el cilindro
             • determina el volumen y el área superficial de la esfera y de cualquier cilindro, y donde además establece una bellísima relación entre los volúmenes y áreas superficiales de una esfera y un cilindro circular recto circunscrito con la misma altura y diámetro.
           • los conoides y esferoides
             • donde calcula las áreas de las secciones transversales y los volúmenes de truncamientos de conos, esferas y paraboloides. Además, también estudia los truncamientos de los poliedros y los sólidos platónicos.
           • La propiedad arquimediana de los números reales
             • como se conoce en la actualidad, se debe a una afirmación de Arquímedes en la que postula que, cualquier magnitud sumada a sí misma suficiente número de veces puede exceder cualquier otra magnitud dada.
           • La cuadratura de la parábola
             • trabajo que quizás sea el más cercano al pensamiento infinitesimal griego, en el que Arquímedes utiliza el método de exhausión para determinar el área cercada por una parábola y una línea recta
           • Arquímedes emplea en general un pensamiento infinitesimal, para mostrar cómo el método de fraccionar una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas puede ser usado para calcular su área o volumen.