CONJUNTOS

CONJUNTOS

1. I. A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema.

   • exemplo: conjunto das vogais Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento. Assim, no exemplo anteriore, temos os elementos: 1º) a, e, i, o, u
     • No exemplo, cada vogal é elemento do conjunto das vogais, isto é, pertence ao conjunto. Em particular, a pertence ao conjunto dos números ímpares e d não pertence.
       • Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula, A, B, C, ..., e um elemento com uma letra minúscula, a, b, c, d, x, y, ...
         • Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos: x E​​ A
         • Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos: x ∉ A
   • a E A, b E A, c E A. No caso de usarmos um círculo para represen- tar um conjunto, estaremos usando o assim chama- do diagrama de Euler-Venn
     • °a °b °c
     • A

2. II. Descrição de um conjunto

   • Descrição pela citação dos elementos
     • Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos, devemos indicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves. Exemplo: conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}
   • Descrição por uma propriedade
     • Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma propriedade característica P de seus elementos x, escrevemos: A = {x|x tem a propriedade P e lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P”.
       • Exemplo: {x|x é inteiro e 0≤ x ≤ 500} pode também ser indicado por: {0, 1, 2, 3, ..., 500}

3. III.Conjunto unitário – Conjunto vazio

   • Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento. Exemplo:conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai: {Rio Grande do Sul}
   • Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. O símbolo usual para o conjunto vazio é Ø

4. IV. Conjunto universo

   • Conjunto universo é o conjunto de todos os valores que a variável pode assumir. Indica-se por U.
     • Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.
     • A = {x | U x tem a propriedade P}

5. V. Conjuntos iguais

   • Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos: A = B ⇔ (∀ x) (x E A ⇔ x E B)

6. VI. Subconjuntos

   • Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. Com a notação A ⊂ B indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão.
     • Com a notação A ⊄ B indicamos que “A não está contido em B”

7. VII. Reunião de conjuntos

   • Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
     • A U B= {x | x E A ou x E B}

8. VIII. Interseção de conjuntos

   • Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.
     • A ∩ B = {x | x E A e x E B}
   • Quando A ∩ B = Ø, isto é, quando os conjuntos A e B não têm elemento co- mum, A e B são denominados conjuntos disjuntos.
   • IX. Propriedades
     • Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que inter-relacionam a reunião e a interseção de conjuntos:
       • 1a) A ∩ (A ∩ B) =A
       • 2a) A ∩ (A U B) = A
       • 3a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) (distributiva da reunião em relação à interseção)
       • 4a) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) (distributiva da interseção em relação à reunião)

9. X. Diferença de conjuntos

   • Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. A - B {x | x E A e x ∉ B}

10. XI. Complementar de B em A

    • Dados dois conjuntos A e B, tais que B E A, o conjunto A - B chama-se complementar de B em relação a A, isto é, o con- junto dos elementos de A que não pertencem a B.