Método de Bisección

Método de Bisección

1. ¿ Qué es el método de Bisección?

   • El Método de Biseccion, conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incremental donde el intervalo se divide siempre en dos.

2. Pasos a seguir para resolución del problema

   • i) Encontrar valores iniciales x_a, x_b tales que f (x_a) y f (x_b) tienen signos opuestos, es decir, f (x_a )*f (x_b)<0
     • ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre "x_a" y "x_b":" x_r"=(x_a+x_b)/2
       • iii) Evaluar f (x_r ). Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:
         • f (x_a )*f (x_r)<0 En este caso, tenemos que f (x_a ) y f (x_r ) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [x_a ,x_r ].
         • f (x_a )*f (x_r)>0 En este caso, tenemos que f (x_a ) y f (x_r ) tienen el mismo signo, y de aquí que f (x_r ) y f (x_b ) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo .
           • El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que: |∈_a (el error obtenido)|<∈_s (el erro permitido)
         • f (x_a )*f (x_r )=0 En este caso se tiene que f (x_r )=0 y por lo tanto ya localizamos la raíz.

3. Forma de justificar

   • Se puede justificar este método, ya sea resolviendo el problema por medio del uso de una calculadora programable o softwares como wolfram alpha, o graficando el problema de modo que se pueda apreciar aproximadamente las raíces del problema.

4. Ejemplo de Bisección

   • Ejemplo 1 Aproximar la raíz de f (x)=e^(-x)-ln⁡x hasta que |∈_a |<1% . Solución Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de f (x) se localiza en el intervalo [1 ,1.5 ]. Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que f (1) y f (1.5) tengan signos opuestos. En efecto, tenemos que f (1)=e^(-1)-ln⁡〖1=e^(-1)>0〗 mientras que f (1.5)=e^(-1.5)-ln⁡〖(1.5)=-0.18233<0〗 Cabe mencionar que la función f (x) sí es contínua en el intervalo [1 ,1.5 ]. Así pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos: i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz): x_(r_1 )=(1+1.5)/2=1.25 ii) Evaluamos f (1.25)=e^(-1.25)-〖ln(〗⁡〖1.25)=0.0636>0〗 iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla: f(1) f(1.25) f(1.5) +

5. Bibliografia

   • Anónimo. (s.f.). Métodos númericos. Recuperado el 24 de Enero de 2014, de http://noosfera.indivia.net/metodos/biseccion.html anonimo. (s.f.). Método de la Bisección . Recuperado el 24 de 1 de 2014, de Metodos numericos : http://noosfera.indivia.net/metodos/biseccion.html

6. Declaro haber realizado esta tarea con estrictos apego a codigo de honor de la udem