Notes
Límite de una función
Content of the notes (1)
Page 1
Límite de una función
En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función.1 Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,\,f(x)=L}
si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.
Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
⟺
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
/
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
⟶
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
{\displaystyle
{\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall
\varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0/0<|x-c|<\delta
\longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}}
Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:
lim
n
→
∞
x
n
=
c
⇒
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
f
(
c
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)}