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8.3 Kern und Bild einer linearen Abbildung
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- 1Was ist das Bild einer Abbildung f: V --> W?die Menge der Elemente der Zielmenge W, auf die f die Menge V abbildet.
- 2Wann ist eine lineare Abbildung f: V --> W surjektiv?Wenn das Bild von f die gesamte Menge von W ist.
Wenn also jedes Element "getroffen" wird. - 3Wenn V ein endlich erzeugter Vektorraum ist und f eine lineare Abbildung, dann ist das Bild (f) ... ?ebenfalls endlich erzeugt
- 4Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum mit der Basis \( v_1 .. v_n \) , und f eine lineare Abbildung von V nach W dann ist f genau dann surjektiv, wenn \( f(v_1) .. f(v_n) \) was ist..?ein Erzeugendensystem von W
- 5Was ist der Kern einer linearen Abbildung?Die Menge aller Vektoren, welche die Abbildung auf das Nullelement abbildet.
- 6Der Kern einer linearen Abbildung f: V --> W ist ein Unterraum von ...?V
- 7Wenn der Kern einer linearen Abbildung lediglich der Nullvektor ist, dann ist die Abbildung? Kern (f) = {0} ==>f ist injektiv.
- 8Was ist der Rang einer linearen Abbildung?Die Dimension des Bildes.
Rg ( f ) = Dim ( Bild ( f ) ) - 9Was ist der Defekt einer linearen Abbildung?Die Dimension des Kerns.
- 10Was besagt der Rangsatz für einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung f: V --> W?die Dimension von V ist gleich
der Summe von Defekt und Rang von f
dim(V) = Def (f) + Rg(f) - 11Wenn zwei endlich erzeugte Vektorräume die gleiche Dimension haben, dann ist die lineare Abbildung f: V --> W genau dann surjektiv, wenn sie ..?injektiv ist.
- 12Welche nütztliche Folgerung lässt sich aus dem Rangsatz ableiten?Um zu zeigen ob eine lineare Abbildung
auch ein Isomorphismus ist, muss nur noch gezeigt werden:
dass f injektiv oder surjektiv ist.
(und dass natürlich die Dimensionen übereinstimmen) - 13Wann sind zwei Vektorräume V und W über einen Körper K isomorph?Wenn sie die gleiche Dimension haben.
- 14Wann ist ein Vektorraum isomorph zu \( K^n\) ?Wenn er die gleiche Dimension hat wie der VR \( K^n\)
- 15Welcher Begriff wird für den Rangsatz noch verwendet und warum?Der Dimensionssatz,
weil man den Defekt und den Rang der Abbildung auch durch die Dimension ausdrücken kann.
Dim (V) = Dim ( Kern (f) ) + Dim ( Bild (f) ) - 16Wie lautet der Dimensionssatz für einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung f?Die Dimension von V ist gleich der Summe der Dimensionen von Bild und Kern von f.
Dim (V) = Dim ( Kern (f) ) + Dim ( Bild (f) ) - 17Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und sei f : V → W eine lineare Abbildung sowie {v1,...,vn} eine Basis von V, dann ist: f injektiv, wenn ?f(v1),...,f(vn) eine Basis von Bild(f) ist.
- 18Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und sei f : V → W eine lineare Abbildung sowie {v1,...,vn} eine Basis von V, dann ist: f surjektiv, wenn ?f(v1),...,f(vn) ein Erzeugendensystem von W ist.
- 19Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und sei f : V → W eine lineare Abbildung sowie {v1,...,vn} eine Basis von V, dann ist: f bijektiv, wenn ?f(v1),...,f(vn) eine Basis von W.
- 20Seien V, W und X endlich erzeugte K-Vektorräume, und seien f : V → W und g : W → X lineare Abbildungen. Was lässt sich dann über den Rang der Komposition (g◦f) aussagen?Der Rang der Komposition ist sowohl kleiner gleich dem Rang von f als auch dem Rang von g.
Rg (g ◦ f) ≤ Rg ( g ) und Rg ( g ◦ f ) ≤ Rg( f ).
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- Created by David Bratschke · May 4, 2017
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