Flashcards
12.2.3 Folgerungen aus dem Schnittaxiom
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- 1Wann ist x ein Minimum bzw. kleinstes Element einer Menge M? (Teilmenge von R)wenn gilt:
x ≤ m
für alle m aus M - 2Wann ist x ein Maximum bzw. größtes Element einer Menge M (Teilmenge aus R)?wenn gilt:
x ≥ m
für alle m aus M - 3Was wird für ein Maximum und Minimum zusätzlich verlangt, außer dass diese größer bzw. kleiner als die anderen Elemente sind?Dass sie ebenfall Teil der Menge selbst sind.
- 4Welche Eigenschaft muss eine Teilmenge von R haben, damit es ein Minimum bzw. Maximum geben kann?Die Menge muss endlich und nicht leer sein.
- 5Was ist eine untere Schranke einer Menge M?eine reelle Zahl a, die nicht Element der Menge M sein muss, die kleiner (bzw. gleich) als alle Elemente der Menge ist.
- 6Was ist eine obere Schranke einer Menge M?Einen reelle Zahl b, (die nicht in M enthalten sein muss) zu der alle Elemente aus M kleiner bzw. gleich sind.
- 7Was ist das sogenannte Infimum?Die größte untere Schranke einer Menge, d.h.:
zu jedem positiven \( \epsilon \) existiert ein x \( \epsilon M\) mit:
x < s + \(\epsilon \) - 8Was ist das sogenannte Supremum?Die kleinste obere Schranke einer Menge, d.h. zu jedem positiven \( \epsilon \) gibt es ein y \( \epsilon \) M mit:
y > S - \( \epsilon \) - 9Wie stehen das Maximum und das Supremum einer Menge in Zusammenhang?Wenn M ein Maximum hat, ist dieses auch das Supremum.
- 10Wieviel Suprema gibt es zu einer Menge M?Wenn eine Menge ein Supremum besitzt, dann ist dieses auch das Einzige.
==> Das Supremum ist eindeutig. - 11Wie stehen das Minimum und das Infimum einer Menge M in Zusammenhang?Wenn M ein Minimum besitzt, dann ist dieses auch das Infimum.
- 12Wieviele Infima kann eine Menge haben.Nur eines. Das Infimum ist eindeutig.
- 13Wie werden Minimum und Maximum einer Menge bezeichnet?mit "min (M)" und "max (M)"
- 14Wie werden Infimum und Supremum einer Menge bezeichnet?mit "sup (M)" und "inf (M)"
- 15Was besagt das Supremumsprinzip?Jede nicht leere nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum.
- 16Wo ist der Unterschied zwischen einer unteren Schranke und einem Minimum einer Menge?Die Schranke muss nicht Teil der Menge sein. Das Minimum schon.
- 17Muss das Supremum Teil der Menge sein?Nein, denn es ist ja "nur" die kleinste obere Schranke, diese kann auch außerhalb der Menge liegen.
- 18Was besagt das Infimumsprinzip?Jede nicht leere, nach unten beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Infimum.
- 19Ergänze: Wenn jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge von R ein Supremum besitzt, dann besitzt jeder Dedekind’sche Schnitt ... ?genau eine Trennungszahl
- 20Wie stehen das Supremumsprinzip und das Schnittaxiom in Verhältnis?Sie sind äquivalent
- 21Welche Vorteile bieten jeweils das Schnittaxiom und das Supremumsprinzip?Mit dem Supremumsprinzip kann man besser rechnen.
Das Schnittaxiom ist anschaulicher. - 22Was besagt der Satz des Archimedes?Dass die Menge der natürlichen Zahlen nach oben beschränkt ist.
- 23Was besagt der Satz des Eudoxos?Dass es zu jedem positiven \( \epsilon \) eine natürliche Zahl m gibt für die gilt:
\( \frac{1}{m} < \epsilon \) - 24wie sind die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen verteilt?Q liegt dicht in R.
d.h. zu jeder reellen Zahl gibt es in der beliebig wählbaren \( \epsilon \) -Umgebung zu dieser eine rationale Zahl r.
a - \( \epsilon \) < r < a + \( \epsilon \) - 25Was bedeutet "Q liegt dicht in R"?Dass sich jede reelle Zahl beliebig gut durch rationale Zahlen annähern (approximieren) lässt.
- 26Wann ist eine Menge / Folge beschränkt?Wenn sie eine obere und eine untere Schranke besitzt.
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- Deleted user · Feb 2018
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- Feb 19, 2018
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- Created by David Bratschke · May 17, 2017
- Copied by David Bratschke · Feb 19, 2018
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