Límites Laterales(Apunte)

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Límites Laterales

En algunas funciones como las definidas por partes y las de dominio restringido, como las que tienen raíces cuadradas, se aplican los límites laterales. Por ejemplo, en las funciones con radicales con índice par no tiene sentido hablar del límite en puntos a, extremos de los intervalos que conforman el dominio, pero los valores de la función se pueden acercar a un número cuando la variable se acerca por la derecha o por la izquierda al punto en cuestión. En las funciones definidas por intervalos servirán para establecer si la función tiene límite en los puntos donde la función cambia de fórmula y en caso que tenga límite en algún punto, determinar su valor.

Definición (intuitiva)

Suponga una función f definida en un intervalo (c,a).Decimos que el límite de f cuando x tiende a a por la izquierda es L si f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a para valores x menores a a.

Esto lo escribimos como

Observación

El superíndice derecho "-"de a indica que x se acerca a a con valores menores a a.

Definición (intuitiva)

Suponga una función f definida en un intervalo (a,c).Decimos que el límite de f cuando x tiende a a por la derecha es L si f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a para valores x mayores a a.

Esto lo escribimos como

Distintas situaciones pueden presentarse con límites laterales en un punto: pueden existir y ser diferentes, ser iguales, no existir por un lado, o por los dos lados. Es claro que si los límites laterales son diferentes entonces el límite bilateral (ordinario) no existe, pues la función para tener límite debería tender a un solo número cuando x se acerca al punto considerado

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Propiedades de los límites laterales

Los límites laterales tienen los mismos tipos de propiedades que los límites bilaterales (límites ordinarios). Esto es, por ejemplo, si

entonces

Para calcular límites laterales podemos hacerlo mediante el uso de tablas o de manera analitica visual.

Al lado mostramos una función que no tiene límite lateral por la izquierda, pero si por la derecha. En este caso, la función no tiene límite por la izquierda porque la función no está definida para valores x menores a 1.

El límite por la derecha es calculado (de manera exacta) usando las propiedades de los límites laterales, justificando cada paso. Normalmente, no se procede con tanto detalle.

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Ejemplos

Ejemplo 1. Estimación de límites laterales a partir de la gráfica de la función

La gráfica corresponde a una función definida por partes. Vemos que conforme x se acerca a 2 por la izquierda los valores de la función, f(x), se acercan a 3. Por el otro lado, si x se acerca a 2 por la derecha, los valores de la función se aproximan a 1 Los límites laterales son distintos. No hay un solo número al que f(x)se aproxime, por tanto el límite bilateral no existe.

Ejemplo 2. Una función que tiene límite por la derecha en un punto y no tiene límite por la izquierda.

La función no está definida a la izquierda de 1

Calculamos el límite lateral derecho usando la leyes de los límites.

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Teorema de límites laterales

Ya mostramos ejemplos en que si los límites laterales son distintos entonces el límite bilateral no existe, este hecho está contenido en el siguiente teorema. Además el siguiente resultado permite concluir sobre la existencia del límite si los laterales son iguales.

Teorema

Sean a y L dos números reales y f una función real definida en un intervalo abierto conteniendo a a, salvo posiblemente en a. Tenemos que:

Recuerda que tanto en los límites laterales como en los ordinarios no importa que ocurre con el valor de la función en a. Puede estar definida y valer igual a los laterales o ser diferente o sencillamente no existir.

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Ejemplos

Si necesitas más ayuda y ejemplos da clic aquí:

AYUDA LÍMITES LATERALES

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Límites laterales por tablas

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Actividades

En una(s) ficha(s) de trabajo realizar de manera individual:

1. Un formulario que incluya lo más importante del tema.

2. Realiza los siguientes ejercicios:

Por metodo intuitivo, gráfico o tabular.