Ley de Senos y Cosenos

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Ley de los senos

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces

Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.

Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL).

Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

El tercer ángulo del triángulo es

C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°

Por la ley de los senos,

Por las propiedades de las proporciones

Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluído (ALA).

Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

El tercer ángulo del triángulo es:

C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°

Por la ley de los senos,

Por las propiedades de las proporciones

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Ley de los cosenos

Actividad: Realiza de manera individual un formulario en fichas de trabajo de las dos leyes y entrégalas al docente para firmar.