Teorema de Pitágoras e sua demonstração

Quem foi Pitágoras?

Triângulo Egípcio

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• Caption: Cerca de 2000 a.c. os antigos egípcios utilizavam uma corda com 13 nós espaçados com 3, 4 e 5 unidades, para construírem triângulos.
• Caption: Nesta época os egípcios já sabiam que um triângulo deste tipo tinha dois lados perpendiculares: os que medem 3 e 4 unidades.

Descrição do Triângulo retângulo

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• O triângulo retângulo é formado por um ângulo interno de 90º, chamado ângulo reto.
• A Hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e o lado oposto ao ângulo reto.
• Os outros dois lados são os catetos.

Teorema de Pitágoras

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• O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo.
• Se construir um quadrado sobre cada um dos lados do triângulo, como mostra na figura, podemos calcular área e cada um dos quadrados.
• Comparando as áreas podemos concluir:
• Área do quadrado vermelho= Área do quadrado azul+ área do quadrado verde

Demonstração Teorema de Pitágoras

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• Caption: Neste exemplo demonstra-se que: Área do quadrado vermelho = Área do quadrado amarelo + Área do quadrado azul 25 = 16 + 9
• Caption: Em qualquer triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa (c) é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Algumas demonstrações geométricas

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• Caption: Construindo outras figuras geométricas sobre os lados do triângulo retângulo também se verifica o Teorema de Pitágoras.
• Caption: Neste exemplo as medidas dos lados do triângulo são: a= 10 cm b= 6 cm c= 8 cm

Demonstrações com vários materiais...

• A demonstração do Teorema de Pitágoras(via experimento) (Embed)
• Teorema de Pitágoras utilizando material didáctico (Embed)
• Caption: Utilizando Volumes também se verifica o Teorema de Pitágoras.
• Caption: Utilizando vários materiais...sobre os lados de um triângulo retângulo... continua a verificar o Teorema de Pitágoras

Ternos Pitagóricos

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• Os ternos pitagóricos são conjuntos de três números naturais que verificam o Teorema de Pitágoras.
• Exemplos:
• (3,4, 5) é um terno pitagórico porque 5 x 5 = ( 4 x 4) + ( 3x3)
• Dois ternos pitagóricos dizem-se da mesma família se
• os elementos de um terno são proporcionais aos elementos do outro.
• (3,4,5) e (6, 8, 10) são ternos pitagóricos da mesma família
• pois: 6 = 3 x 2 8 = 4 x 2 10 = 5 x 2
• Caption: Há uma infinidade de ternos pitagóricos.

Recíproco do Teorema de Pitágoras

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• Caption: Neste exemplo verifica-se que com 80 cm, 40 cm e 100 cm o triângulo construído é retângulo.. 100 x 100 = ( 80x80) + (60 x 60) = 10 000
• Prova-se que, se num triângulo os lados de comprimentos a, b, c verificam a condição:
• c x c = (a x a ) + (b x b)
• então o triângulo é retângulo,
• sendo c a medida da hipotenusa (o maior dos lados)