AG 2.3 Quadratische Geichungen

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Begriffe

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0.

Dabei sind a,b,c Elemente der reellen Zahlen und a ist nicht gleich 0.

Was ist ein Linearfaktor?

linear = Variable hat die Hochzahl 1

Faktor = Multiplikation

Das bedeutet ein Linearfaktor ist eine Multiplikation die immer die Hochzahl 1 hat.

Was heißt faktorisieren?

In ein Produkt umwandeln.

z. B. x²+6x+9 = 0 in (x+3)² = 0

Was heißt normieren?

Das vergleichbarmachen unterschiedlicher Datenreihen.

z.B.

ax² + bx + c = 0 /:a

x² + b:a x + c:a = 0

Wie lautet der Produkt-Null-Satz?

Ein Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

z.B.

4 * 0 = 0

165126384 * 0 = 0

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Spezialfälle von quadratischen Gleichungen

Typ 1

1. Sonderfall: ax² = 0 (a ist nicht gleich 0, b = 0, c = 0)

z.B.

4x² = 0 /:4

x² = 0 / :Wurzel

x = 0

Anzahl der Lösungen: 1

Lösung: {0}

Typ 2

2. Sonderfall: ax² ist nicht gleich bx = 0 (a,b sind nicht gleich 0, c = 0)

z.B.

2x² - 7x = 0 /Faktorisieren

x * (2x - 7) = 0 /Produkt-Null-Satz

x = 0 2x - 7 = 0 /+7

2x = 7 /:2

x = 3,5

L = {0; 3,5}

Typ 3

3. Sonderfall: ax² + c = 0 (a,c sind nicht gleich 0, b = 0)

z.B.

5x² - 125 = 0 /+125

5x² = 125 /:5

x² = 25 /:Wurzel

x = +- 5

L = {+- 5}

Anzahl der Lösungen: Wenn c negativ ist (-125) --> 2 Lösungen

Wenn c positiv ist (125) --> 0 Lösungen

Was muss beim Wurzelziehen beachtet werden?

Da es für x zwei Werte geben kann, muss beim Wurzelziehen das +- beachtet werden.

https://www.youtube.com/watch?v=PlcnAqoFX1g&list=PLkdzt563JeE-9WgaL6diYZbTw7KzIhrzW (Embed)

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kleine Lösungsformel

Wie lautet die kleine Lösungsformel? Wie viele Lösungen

gibt es? Wie kann man bestimmen ob es 0/1/2 Lösungen gibt? Wann gibt es

0/1/2 Lösungen?

Gilt für eine quadratische Gleichung der Form: x² + px + q = 0

Kleine Lösungsformel: -p:2 +- Wurzel aus p:2² - q

Anzahl der Lösungen: Entweder 0 Lösungen, 1 Lösung oder 2 Lösungen

Damit man das herausfindet, muss man schauen ob die Diskriminante >0, <0 oder 0 ist.

Wenn D>0 ist, dann hat sie 2 Lösungen.

Wenn D=0 ist, dann hat sie 1 Lösung.

Wenn D<0 ist, dann hat sie 0 Lösungen.

https://www.youtube.com/watch?v=IM7qCdUyFh4 (Embed)

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Satz von Vieta

Wie lautet der Satz von Vieta? Wie bestimmt man damit die

Lösungen einer quadratischen Gleichung? Wie bestimmt man die

Linearfaktoren?

Der Satz von Vieta zerlegt eine Summe oder Differenz in ein Produkt.

"Sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung (x² + px + q = 0) ,so gilt:"

1) x² + px + q = (x-x1) * (x-x2) --> Summe in ein Produkt verwandelt!

2) x1 * x2 = q

3) x1 + x2 = -p

z.B.

x² + 7x - 8 = 0

(x + 8) * (x - 1) = 0

x1 = 8

x2 = -1

q= x1 * x2

-p = x1 + x2

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quadratische Gleichungen mit Paramtern

Was ist ein Parameter? Wie bestimmt man die Anzahl der Lösungen, wenn in der quadratischen Gleichung ein Parameter vorkommt?

Parameter: Ein Parameter ist eine Variable (unbestimmte

Zahl), die in der Rechnung wie eine Konstante (gleichbleibende Zahl)

behandelt wird.

Lösungen: Man bestimmt die Anzahl der Lösungen,

indem man schaut, was bei der kleinen Lösungsformel unter der Wurzel

steht.

Wenn ...

D > 0 => 2L,

D < 0 => 0 L

und wenn D = 0 => 1L.

z.B.

x² - ax - 2a² = 0

p= -a

q= -2a²

x

= a/2 +- Wurzel aus (- a/2)² + 2a² = a/2 +- Wurzel aus a² + 8a²/4 = a/2

+- Wurzel aus 9a²/4 = a/2 +- 3a/2 --> x1 = 4a/2 = 2a

--> x2 = -2a/2 = -a

https://www.youtube.com/watch?v=lhdOXROGWn4&list=PLkdzt563JeE-9WgaL6diYZbTw7KzIhrzW&index=4 (Embed)