AG 3 Themen der Vektorrechnung II

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Punktrichtungsgleichung

Von den Koordinatensystemen her wisst ihr inzwischen hoffentlich, was

ein Punkt ist: In der Ebene zum Beispiel P(3;4) oder im Raum zum

Beispiel P(2;1;3). Und Vektoren kennt ihr in Zwischenzeit ebenfalls,

sowohl in der Ebene als auch im Raum. Zur Erinnerung: Der Vektor gibt

euch eine Richtung an. Dieses Wissen kombinieren wir im nun Folgenden.

Beispiel:

Gegeben sei eine Gerade durch einen bestimmten Punkt mit einem

Richtungsvektor. Die Punktrichtungsgleichung soll aufgestellt werden.

Seht euch dazu einmal die folgende Berechnung an. Einige Erklärungen

dazu folgen im Anschluss.

Wie bereits oberhalb der Rechnung beschrieben, haben wir einen Punkt

und einen Vektor, mit welchem wir die Punktrichtungsgleichung bestimmen.

Setzen wir nun für t eine Zahl ein ( z.B. t = 3 in unserem Beispiel )

erhalten wir einen weiteren Punkt P(10;14), welcher ebenfalls auf der

Geraden liegt.

Die Aufgabe könnte auch umgekehrt laufen. Ihr kennt die Punkte P1(10;14) und P2(1;2) und die Richtung und sollt nun "t" berechnen. Dies würde dann wie folgt aussehen:

Man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches mit t=3 für alle Gleichungen gelöst werden kann.

Punktrichtungsgleichung im Raum

Die eben durchgeführten Rechnungen funktionieren natürlich auch im

Raum. Es steht dann in den jeweiligen Fällen noch ein z-Wert und das

Gleichungssysteme hat drei Zeilen.

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Gerade durch zwei Punkte

Die Idee hinter der Zwei-Punkte-Form ist ganz einfach: Es soll eine

Gerade gefunden werden, die durch zwei vorgegebene Punkte läuft. Die

Frage lautet nun: Wie berechne ich diese Gerade? Die Lösung dazu

liefert die folgende Formel, deren Anwendung gleich noch durch ein

Beispiel erklärt wird.

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Punkt zu Gerade: Abstand berechnen

In diesem Artikel sollt ihr lernen, wie man den Abstand zwischen

einer Gerade und einem Punkt berechnet. Ganz wichtig dabei: Wir suchen

den kürzesten Abstand! Die folgende Grafik zeigt euch dies: Von der

Gerade g wird im rechten Winkel der Abstand zum Punkt Q markiert.

Beispiel:

Wir haben einen Punkt Q und eine Gerade g ( die mit einer Gleichung

mit r-Vektor beschrieben wird ) und möchten deren Abstand berechnen.

Hier zunächst die Berechnung, ein paar erläuternde Worte findet ihr im

Anschluss:

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Abstand paralleler Geraden

Lage von Geraden zueinander

Zwei Geraden können verschiedene Lagen zueinander einnehmen:

Zwei Geraden liegen aufeinander

Beide Geraden sind zueinander parallel

Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt

Die beiden Geraden sind windschief ( verlaufen weder parallel noch schneiden sich )

In diesem Artikel interessieren wir uns für den Fall Nummer 2: Die Geraden sind zueinander parallel. Dies sieht dann wie folgt aus:

Fragt sich jetzt noch: Wie sehe ich in der mathematischen

Darstellung, ob die Geraden parallel zueinander sind? Antwort: Dies

sieht man an der linearen Abhängigkeit der beiden Richtungsvektoren. Die

beiden Richtungsvektoren sind kollinear.

Beispiel:

Wir sehen uns im nun Folgenden zwei Geraden an. Diese sind parallel,

denn die beiden Vektoren sind vielfache voneinander: Multipliziert man

den ersten Vektor mit drei, erhält man den zweiten Vektor.

Abstand zweier paralleler Geraden

Nun möchten wir den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden

berechnen. Dazu erst einmal die allgemeine Formel, gefolgt von einem

wahrscheinlich deutlich besser verständlichem Beispiel:

Beispiel:

Im nun Folgenden soll der Abstand zwischen zwei Geraden berechnet werden. Um die Rechnung zu verstehen, müsst ihr das Kreuzprodukt und die Betragsbildung verstehen.

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Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittpunkt berechnen

In diesem Artikel sollt ihr lernen, wie man den Schnittpunkt zweier

Geraden berechnet. Zunächst will ich kurz auf die allgemeine

Vorgehensweise eingehen. Anschließend sollte ein Beispiel für die

bessere Verständlichkeit sorgen.

Allgemeine Vorgehensweise:

Wir haben zwei Geraden, deren Schnittpunkt wir finden möchten

Wir führen ein Gleichsetzen durch

Wir stellen ein lineares Gleichungssystem auf

Wir lösen dieses Gleichungssystem

Mit dem Ergebnis berechnen wir den Schnittpunkt

Beispiel:

Zur besseren Verdeutlichung der

Vorgehensweise, soll im nun folgenden der Schnittpunkt zweier Geraden

berechnet werden. Dabei halten wir uns an den 5-Punkte-Plan, den ihr

eben erhalten habt.

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Schnittwinkel zweier Geraden

Schnittwinkel berechnen

Es mag den meisten völlig logisch erscheinen, der Vollständigkeit

halber muss man jedoch eine Bedingung für die Berechnung des

Schnittwinkels zweier Geraden angeben: Die beiden Geraden müssen sich

überhaupt schneiden. Wenn wir zwei Geraden im Raum haben, die sich

nirgends schneiden, ist es schwachsinnig, für diese einen Schnittwinkel

zu berechnen. Sofern in der Aufgabenstellung nicht explizit angegeben

ist, dass sich zwei Geraden schneiden, könnt ihr dies selbst prüfen.

Ist nun sicher gestellt, dass es einen Schnittpunkt gibt, kann man

nun mit der Berechnung des Schnittwinkels beginnen. Dazu als erstes eine

kleine Grafik, gefolgt von der Formel zur Berechnung des Winkels:

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Darstellungsformen von Geraden

1) Parameterdarstellung einer Geraden (im R² und R³ möglich)

X = P + t g

P ... bestimmter Punkt auf der Geraden

g ... Richtungsvektor

t ... Parameter t in R

https://www.youtube.com/watch?v=JmzLX4M0QqE&list=PLjaA00udJtOpn73fqft-kcdST4ac2HW4U&index=5 (Embed)

2) Normalvektorform (nur im R²)

X*n = P*n

3) Allgemeine Gleichung (nur im R²)

ergibt sich durch das Asmultiplizieren der Normalvektorform.

ax + by = c

4) Funktionsgleichung (nur im R²)

f(x) = kx + d

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Lage von Geraden im R²

Möglichkeiten im R²

1) Sie sind ident

2) Sie sind parallel.

3) Sie schneiden sich.

Testen der Lage

Im R² gibt es zwei Darstellungsformen, die wir betrachten sollten

1. PARAMETERDARSTELLUNG

a) Vergleich der Richtungsvektoren: Sind sie parallel?

-> ja -> dann sind die Geraden parallel oder ident

-> nein -> dann sind die Geraden schneidend

b) wenn bei a) ja - > Einsetzen eines Punktes der ersten Gerade in die zweite: Passt der Punkt?

-> ja -> ident

-> nein -> parallel

1. ALLG. GLEICHUNG

a) Vergleich der Normalvektoren: Sind sie parallel?

-> ja -> dann sind die Geraden parallel oder ident

-> nein -> dann sind die Geraden schneidend

b) wenn bei a) ja - > Einsetzen eines Punktes der ersten Gerade in die zweite: Passt der Punkt?

-> ja -> ident

-> nein -> parallel

https://www.youtube.com/watch?v=p16Y6bNxdQ4 (Embed)

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Lage von Geraden im R³

Möglichkeiten im R³

1) Sie sind ident

2) Sie sind parallel.

3) Sie schneiden sich.

4) Sie sind Windschief.

Testen der Lage

Da im R³ nur eine Darstellungsform (Parameterdarstellung) möglich ist, gehen wir von dieser aus.

1) Vergleich der Richtungsvektoren: Sind sie parallel?

-> ja -> dann sind die Geraden parallel oder ident

-> nein -> dann sind die Geraden schneidend oder windschief.

wenn bei 1) ja - > Einsetzen eines Punktes der ersten Gerade in die zweite: Passt der Punkt?

-> ja -> ident

-> nein -> parallel

Wenn bei 1) nein -> Geraden gleichsetzten: Gibt es eine Lösung für das Gleichungssystem?

-> ja -> Sie schneiden sich.

-> nein -> windschief

https://www.youtube.com/watch?v=u0QoYlEE094&list=PLjaA00udJtOpn73fqft-kcdST4ac2HW4U&index=6 (Embed)