Flashcards
4.2 Gaußalgorithmus
Cards in this deck (15)
- 1Wozu dient der Gaußalgorithmus bzw. was ist das Ziel des Algorithmus?Dieser dient zum Lösen von Linearen Gleichungssystem (LGS). Das Ziel des Algorithmus ist die Elimination von Variablen, um danach die Lösung ablesen zu können.
- 2Wie wird der Gaußalgorithmus noch genannt?gaußsches Eliminationsverfahren
- 3Was hat die die Treppennormalform einer Matrix mit dem Gaußalgorithmus zu tun?Durch den Gaußalgorithmus kann jede Matrix in eine TNF gebracht werden, so dass danach die Lösung einfacher abgelesen werden kann.
- 4Wie funktioniert der Gaußalgorithmus?- die Pivotposition zu 1 machen (I.d.R. durch Multiplikation)
- dann alle Zeilen oberhalb und unterhalb mit den passenden Vielfachen der Pivotzeile addieren bzw. subtrahieren, um die Einträge oberhalb des Pivotelements 0 werden zu lassen. (Elimination)
- danach nächste Spalte, ggf. auch mal Zeilen tauschen oder eine Spalte überspringen - 5Was macht man, wenn man beim Anfang des Gaußalgorithmus bei a11 eine 0 hat?wenn nicht gerade die ganze Spalte 0 ist, entsprechend die Zeilen tauschen..,
ist die ganze Spalte 0, dann ist diese bereits per Definition in TNF - 6Wie viele Treppennormalformen gibt es zu einer Matrix?genau eine. Die TNF ist eindeutig.
- 7Wie kann man den Gaußalgorithmus benutzen, um die Inverse einer Matrix zu finden?Indem man die gleichen elementaren Zeilenumformungen gleichzeitig mit der entsprechenden Einheitsmatrix durchführt. (Gauß-Jordan-Algorithmus)
- 8Wie funktioniert der Gauß-Jordan-Algorithmus?Man schreibt rechts neben seiner Matrix A mit einem Strich getrennt die zugehörige Einheitsmatrix ( A | I_m ) , und führt dann den Gaußalgorithmus durch. Im Ergebnis steht dann rechts die Matrix S
- 9Wann haben zwei Matrizen A und B dieselbe Treppennormalform?Wenn A und B zeilenäquivalent sind.
- 10Was ist der Rang einer Matrix Rg(A)?Die Anzahl von Pivotpositionen in der Treppennormalform
= Anzahl von Zeilen, die nicht 0 sind
(Anzahl linear unabhängiger Spalten / Zeilen ) - 11Wann sind zwei Vektoren a und b linear unabhängig, wann 3 Vektoren a, b, c?a und b, wenn sie keine Vielfachen voneinander sind.
a != \( \lambda \) * b
Bei mehr als zwei darf sich keiner von Ihnen aus den Anderen linear kombinieren lassen ( Summe aus Vielfachen der Anderen) - 12Wann ist eine quadratische Matrix invertierbar?Wenn die TNF von A die Einheitsmatrix ist
oder
Rang der Matrix = Zeilenanzahl m
oder
A ist Produkt von Elementarmatrizen - 13Wie vermeidet man bei beim Gaußalgorithmus, das frühzeitige Entstehen von Brüchen.Indem man die 1 bei den Pivotpositionen zu Beginn möglichst nur durch Zeilentausch und Zeilenaddition realisiert.
- 14Wie stehen der Rang einer Matrix A und der Rang ihrer Transponierten Matrix \( A^T \) zueinander?Rg (A) = Rg ( \( A^T \) )
- 15Woran erkennt man, dass eine Matrix invertierbar ist?Wenn sie quadratisch ist und der Rang gleich der Zeilenanzahl.
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- Apr 29, 2017
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- Created by David Bratschke · Apr 16, 2017
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