SubGrupos

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Demostrar el teorema de caracterización de subgrupos:

Sea (G,∗)(G,∗) un grupo y H⊂GH⊂G. Entonces, HH es subgrupo de GG si y sólo si se verifican las condiciones

(i)(i) H≠∅.H≠∅.

(ii)(ii) Para todo x∈Hx∈H y para todo y∈Hy∈H se verifica x∗y′∈Hx∗y′∈H.

Si HH es subgrupo de GG el neutro ee de GG pertenece a HH y por tanto H≠∅.H≠∅. Si xx e yy son elementos de HH, el simétrico y′y′ de yy pertenece a HH por ser (H,∗)(H,∗) grupo. Por la interna de ∗∗ en HH se verifica x∗y′∈H.x∗y′∈H.

Recíprocamente, supongamos que se verifica (i)(i) y (ii)(ii). Veamos que HH es subgrupo de GG. Como H≠∅H≠∅ sea z∈Hz∈H. Por (ii)(ii) se verifica e=z∗z′∈He=z∗z′∈H, es decir el neutro pertenece a HH.

Si x∈Hx∈H, por (ii)(ii) se verifica x′=e∗x′∈Hx′=e∗x′∈H, es decir para todo elemento de HH su simétrico pertenece a HH. Si x,yx,y son elementos de HH, y′∈Hy′∈H y por (ii)(ii) se verifica x∗y=x∗(y′)′∈Hx∗y=x∗(y′)′∈H, es decir ∗∗ es interna en HH.

Dado que la propiedad asociativa se cumple en GG, también se verifica en HH.Concluimos que HH es subgrupo de GG.