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Modulo IV (Derivadas)

Tasa de variación media

Llamamos T.V.M. de una función f entre a y b con a<b al cociente entre la variación de f(x) y la de X en el intervalo [a,b]

Ejemplo

Pendiente de la recta secante

La T.V.M. de una función f en el intervalo [a,b]coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos (a,f(a)) y (b, f(b))

Ejemplo

La T.V.M de f en el intervalo [a,a+h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos (a,f(a)) y (a+h,f(a+h))

Cuando h→0, la recta secante se aproxima a la recta tangente

Ejemplo

Derivada de una función

Función f en el punto x=a al límite, sí existe

Se representa por f'(x) y la función f es derivable en x=a

b=a+h, la derivada de una función en un punto también se puede expresar

Interpretación geométrica

La derivada de la función f en el punto x=a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,f(a))

La ecuación punto-pendiente de una recta no vertical de pendiente m qué pasa por el punto (X⁰Y⁰)

La ecuación de la recta tangente a la gráfica f en el punto (a,f(a))

Reglas de diferenciación

Derivada de la potencia base

Derivada de una constante

Derivada del factor constante

Límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite denominador no sea 0.

Ejemplo

Tienes cualquier número real

Siempre que x ^n-1 este definida. La derivada de una potencia constante de x es igual al exponente multiplicado por la x elevada a una potencia menor en una unidad que la potencia dada

Ejemplo

Si f es una función diferenciable y c una constante, entonces cf(x) es diferenciable

La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función

Ejemplo

Reglas de diferenciación

Regla del producto

Derivada del cociente

Derivada de la suma o resta

Si f y g son funciones diferenciables, entonces f+g y f-g son diferenciables

Ejemplo

Esto es la derivada del producto de dos funciones es la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera

Ejemplo

La derivada del conciente de dos funciones es el denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el cuadrado del denominador. Siempre que g(x)≠0

Ejemplo

Derivada de la cadena

Sí y es una función diferenciable de u y u es una funcion diferenciable de x, entonces y es una funcion diferenciable de x

Ejemplo

Regla de la cadena

La derivada de una función f en un punto, X⁰, f'(x⁰)

Cuando dicho límite existe y sea finito

Derivabilidad y diferenciabilidad

Teorema

Una función f es diferenciable en x=x⁰ si y sólo si f es derivable en x=x⁰. La diferencial a de f en x=x⁰ es el valor de la derivada de f en x=x⁰

La regla de la cadena

Ejemplo

Reglas de la derivación

Ejemplo

Utilización de la regla de la cadena repetidamente

Derivadas de orden superior

La derivada de una función f en sí mismo una función. Nos referimos a esta derivada como la primera derivada de f, denotando f'

Esta segunda derivada es de nuevo una función; por lo tanto, podemos determinar su derivada (siempre que exista). El resultado se denomina tercera derivada

Teniendo en cuenta que la primera derivada es una función, se puede determinar su derivada (siempre que exista). Está derivada se denomina segunda derivada de f"

Y así sucesivamente se puede continuar de esta manera para determinar la n-ésima derivada de f

Se denota cuando n≥4

Ejemplo

Regla de L ' Hospital

Expresión de tipo que por sustitución directa es indeterminada puede asignarle un valor tomando límites

Supongamos que las funciones f y g son derivables y que g'(x)≠0 para x próximo a a

Entonces

Supuesto que el último límite exista y que g' no cambie de signo infinitas veces cerca del punto a

Error usual

Se tiene que derivar el numerador y el denominador separadamente.

Un error los vales derivar el cociente de f(x)/g(x)

Dando lugar a tediosos, innecesarios y erróneos cálculos

Correcto

Ejemplo

Derivada de una función implícita

Función explícita y función implícita

Una función implícita de dos variables, x y y, se expresa por una ecuación no resuelta para ninguna de esas variables

Ejemplo

Una función implícita en dos variables, x y y, generalmente se denota por f(x,y)=0

Una función implícita se vuelve explícita cuando se despeja una de las variables

Ejemplo

Derivada de funciones implícitas

Puede obtenerse por dos procedimientos

2.- Pensando en y como función de x, derivar ambos miembros de la función dada respecto a x y despejar en la ecuación resultante y

1.- Despejar y, si es posible, y derivar respecto a x

Excepto para las ecuaciones muy, este procedimiento es poco recomendable

Este proceso de derivación se le conoce como derivada implícita

Ejemplo