Transformaciones lineales: definición y condiciones

TRANSFORMACIONES LINEALES

En primer lugar, una transformación lineal es una funcion. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos sonespacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales VV y WW, y una función que va de VV a WW. O sea una regla de asignación que transforma vectores de VV en vectores de WW. Pero no toda función que transforme vectores de VV en vectores de WW es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:

F:V→WF:V→W es una transformación lineal si y sólo si:

F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈VF(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V

F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R

T(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0WT(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W

Donde hemos expresado a 0V0V como el producto del escalar 00 por cualquier vector del espacio vectorial VV, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.

La imagen del vector –v–v es igual al opuesto de la imagen de vv:

T(–v)=–T(v)

Si aplicamos la transformación lineal FF de VV a WW, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:

F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)

Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de VV a WW, conservando los escalares de la combinación lineal.

Para demostrar que es una transformación lineal tenemos que comprobar las condiciones dadas en la definición.

Condición 1: T(u+v)=T(u)+T(v)∀u,v∈VT(u+v)=T(u)+T(v)∀u,v∈V

Tomemos dos vectores de R3R3

u=(u1,u2,u3)u=(u1,u2,u3)

v=(v1,v2,v3)