Fichas
ACTIVIDAD 3
Fichas del conjunto (9)
- 17.1 LAS FUNCIONES ARITMÉTICASLa función aritmética τ(n) cuenta cuántos divisores positivos, primos y compuestos, tiene n.
Por ejemplo, los divisores de 8 son 1, 2, 4; así τ(8) = 4. La función σ(n) es definida como la suma de los divisores, tanto primos como compuestos, de n. Por ejemplo, σ(8) = 1 + 2 + 4 = 7. Formalmente - 2Lema 7.1τ y σ se calculan fácil si n es potencia de un primo.
- 3Lema 7.2En el siguiente lema se muestra que τ y σ son multiplicativas, esto nos permite calcular τ y σ
si conocemos la descomposición prima de n.
- 4Teorema 7.1σ y τ son ejemplos de funciones definidas sobre los números naturales. En vez de considerar
este tipo de funciones como objetos aislados, es de mucha ayuda verlas como objetos más generales y estudiar la relación entre ellas por medio de una operación “∗” (llamada convolución).
Una función f definida sobre los números naturales, se llama función aritmética. Por ejemplo,
u(n) = 1 para todo n,
N(n) = n para todo n,
e(n) =
{1 si n = 1
0 si n > 1}
- 5Definición 7.1 (Convolución) y ejemplo
- 6Teorema 7.2Sean f , g y h funciones aritméticas, entonces
a.) f ∗ g = g ∗ f
b.) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
c.) f ∗ e = f para cualquier función aritmética f.
- 7Lema 7.3Prueba: Si n = 1, ∑d|1µ(d) = µ(1) = 1. Para probar el caso n > 1, empecemos con un ejemplo:
Si n = 3 · 5 3· 7, los divisores de n que contribuyen con un sumando no nulo se pueden escribir en pares, 3, 3 · 7, 3 · 5, 3 · 5 · 7, 5, 5 · 7. Los divisores se dividen en dos grupos de igual cardinalidad, los que son divisibles por 7 y los que no. Si d es divisor del primer grupo, d · 7 es divisor del segundo grupo. Observemos que µ(d) = −µ(d · 7), por tanto la suma cancela: ∑d|nµ(d) = µ(3) + µ(3 · 7) + ... = −1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 = 0.
- 8Teorema 7.3 (Fórmula de Inversión)
- 9BIBLIOGRAFÍAMora, Walter (2014). Introducción a la teoría de los números. Ejemplos y Algoritmos.
Recuperado el 10 de julio de 2020 de:
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/WMora_TeoriaNumeros/W_Mora_TeoriaNumero
s.pdf
Información
- Descripción
- Trabajo sobre las funciones aritméticas.
- Creado por
- FRANCISCO JAVIER VALENCIA GARCIA
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