Fichas
Anthony
Fichas del conjunto (8)
- 1Derivación e integración numéricaReglas de derivación basadas en el polinomio interpolador
- 2Podemos aproximar la función f(x) en un punto arbitrario x = x0 + sh por su polinomio interpolador de grado n Pn(x) = Pn(x0 +sh) = n ! j=0 " s j # "j f0y teniendo en cuenta el término de error podemos escribir
f(x) = Pn(x)+
" s
n+1
#
hn+1 f
(n+1)
0 (ξ ) - 3Derivadas primerasVamos a estudiar las derivadas obtenidas para diversos valores del grado del polinomio n y
del punto s. Si tomamos el orden del polinomio interpolador n = 1, tenemos
f #
(x) $ P#
1(x) = 1
h
" f0 = f1 − f0
h - 4REGLAS DE DERIVACIÓN BASADAS EN EL POLINOMIO INTERPOLADORmientras que en los extremos (s = 0 y s = 2)
f #
(x0) $ P#
2(x0) = 1
h
[" f0 − 1
2
"2 f0] = 1
h
[ f1 − f0 − 1
2
(f2 −2 f1 + f0)] = −f2 +4 f1 −3 f0
2h
f #
(x2) $ P#
2(x2) = 1
h
[" f0 +
3
2
"2 f0] = 1
h
[ f1 − f0 +
3
2
(f2 −2 f1 + f0)] = f0 −4 f1 +3 f2
2h - 5Estas fórmulas tienen errores diferentes. Utilizando el término de error de la derivada (la derivada del término de error del polinomio) obtenemos f # (x) = f1 − f0 h + 2s−1 2 h f (2) (ξ ) f # (x) = f2 − f0 2h − 3s2 −6s+2 6 h2 f (3) (ξ )Tenemos que para n = 1 y s = 1
f #
(x) = f1 − f0
h +
1
2
h f (2)
(ξ ) - 6mientras que para n = 2 y s = 1 f # (x) = f2 − f0 2h − 1 6 h2 f (3) (ξReglas de integración basadas en el polinomio interpolador
- 7ean n puntos igualmente espaciados xk, de forma que xk = x0 +kh, donde h es el espaciado. El intervalo de integración lo tomaremos como [x0,xn]. Consideraremos el intervalo descompuesto en subintervalos de longitud mh (m entero) y expresaremos la integral como la suma de las integrales en los subintervalos considerados.Vimos en el Capítulo 5 que podíamos expresar f(x) en x = x0 + sh como la suma del polinomio
interpolador y su término de error (llamamos p al orden del polinomio interpolador para
que no se confunda con el número n de subintervalos), - 8f(x0 +sh) = f0 + " s 1 # "f0 + " s 2 # "2 f0 +···+ " s p # "p f0 +hp+1 " s p+1 # f (p+1) (η)donde s varía continuamente entre 0 y n, y η es un número perteneciente al intervalo [x0,xn].
Construiremos diferentes reglas de integración utilizando la anterior expresión con diferentes
valores de p y longitudes de los subintervalos.
Información
- Descripción
- Fichas sobre Anthony , creado por Anthony Morante el 06/06/2018.
- Creado por
- Anthony Morante
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