Calculo Vectorial

Calculo Vectorial

Unidad III

"Funciones Vectoriales de una variable real"

Unidad IV

"Funciones reales de Varias Variables"

Unidad II

"Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares"

Unidad I

"Vectores en el Espacio"

Unidad V

"Integración Múltiple"

Vectores

elementos

Punto final (B)

Distancia (v=AB)

Punto inicial (A)

> Longitud

>Magnitud

>Norma

tipos

Desplazamiento

Posición

Flecha que conecta 2 puntos

OP = < x1 , y1

operaciones

Multiplicación

Adición

Resta

a= <a1 , a2> y b= < b1 , b2>

a+b = < a1+b1 , a2 + b2 >

ka = < ka1 , ka2 >

a - b = < a1 - b1 , a2 - b2 >

Vector Unitario

Magnitud

|a|= raíz ((a1)2+(a2)2)

u = (1/|v|) (v)

Distancia entre 2 puntos

d ( P1 , P2) = raíz ((x1 x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2)

Punto Medio

Pm = ( ((x1 + x2)/2) , ((y1 + y2)/2) , ((z1 + z2)/2) )

Producto punto

a - b = a1 b1 + a2 b2

Producto Vectorial

a = < a1 , a2 , a3 >

b= < b1 , b2 , b3 >

,

a x b = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k

No es conmutativo

a x b es diferente de b x a

Si f y g son funciones continuas definidas sobre un intervalo I

x = f (t)

y = g (t)

Ecuaciones paramétricas

t recibe el nombre de parámetro

t = [ -3 , 3 ]

Tangente de un curva

x = f (t)

y = g (t)

dy / dx = (dy/dt) / (dx/dt) = g' (t) / f' (t)

siempre que f' (t) <> 0

g' (t) y f' (t) ---> derivadas

Ecuacion

y - y0 = m ( x - x0)

Derivadas de orden superior

dy / dx = (dy/dt) / (dx/dt)

Primera derivada

d2y / dx2 = d/dx y'= (dy'/dt) / (dx/dt)

d3y / dx3 = d/dx y'' = (dy''/dt) / (dx/dt)

Segunda derivada

Punto de tangencia

se sustituye el valor de t

en las funciones originales

x = x0

y = y0

Longitud de Arco

la integral de a ---> b

la raiz de ((dx/dt)^2) + ((dy/dt)^2)

Coordenadas Polares

Los ángulos se miden en sentido contrario a las manecillas del reloj

Si teta < 0 se miden en sentido a las manecillas del reloj

Ángulos en pi o en grados

Tipos de Graficas

Cardioides

Limacones

Curva de Rosa

Circulo

Lemniscata

Parametrizar mediante tres ecuaciones

x = f (t)

y = g (t)

z = h (t)

Espacio Tridimensional

r (t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

Donde

i = <1,0,0 >

j = < 0,1,0 >

k = < 0,0,1 >

r = una función vectorial

Pi radianes o Grados

Pi = 301416

Algebraicas

t^2 + 1

Seno

Coseno

Límites de una función vectorial

lim r(t) = [ lim f(t) ] i + [ lim g(t) ] j

t ---> a

Siempre que existan los límites

Derivada de una función vectorial

Si r (t) = f(t) i + g(t) j

Donde f y g son funciones derivables

r (t) = f' (t)i + g' (t)j + h'(t)k

Integral de una función vectorial

Si la función vectorial es continua sobre un intervalo

La integral definida de

r (t) dt = [ integral f(t) dt ]i + [ g(t) dt]j + [ h(t) dt ] k

Sera evaluada dependiendo el intevalo

Longitud de una curva espacial

L = integral de la raíz de

((dx/dt)^2) + ((dy/dt)^2) + ((dz/dt)^2) dt

Vector Unitario

T (t) = ( r' (t) ) / || r' (t) ||

r' (t) <> 0

|| r' (t) ||

la raíz de

(valor 1)^2 + (valor 2)^2

Curvatura

k (t) =|T' (t)| / |r' (t) |

Curvatura del Circulo

Reciproco de su Radio

k (t) = 1 / a

a = Radio

Regla de Corrspondencia

Limite de una función de Variables

lim (x,y) --> (a,b) = f (x , y) = L

a = x

b = y

ambos valores

los valores de x y y serán sustituidos en la función

Derivadas Parciales

Dependiendo al que se desea derivar

La otra variable se usara como constante

ejemplo

si tengo 4x^3y^2

quiero obtener la deribada parcial de x

y^2 la saco

obtengo la derivada de x

entonces, derivada de x = 12x^2

dicho resultado se multiplica por la variable que sacamos

12x^2y^2

Del mismo modor

se pueden obtener las dobles y tripes derivadas

Regla de la Cadena

el valor de t se sustituye en las funciones orignales

Cunado se obtenga la ecuación final

se sustituyen los valores de x , y , t en la función

Diferenciación Implicita

Si f (x , y) es diferenciable y es = 0

derivada de dy/dx = (- f x (x ,y ) / (f y (x , y )

Si w = f (x , y) es diferenciable y es = 0 (derivada parcial)

- f y ( x , y , z ) / f z ( x , y ,z )

Integrales Parciales

Similar al proceso de Diferenciación Parcial

Integrales Dobles

Integrales Triples

El proceso es igual a las normales

Es necesario prestar atención

1° Se resuelve de adentro hacia afuera