Operadores vectoriales

Operadores Vectoriales

Un Campo Escalar

Un campo escalar en R n es una función f : Ω → R, donde Ω es un subconjunto de R n . Usualmente Ω será un conjunto abierto. Para n = 2 tenemos un campo escalar en el plano, que tendrá la forma (x,y) 7→ f(x,y). Para n = 3 tendremos un campo escalar en el espacio, dado por una expresión (x,y,z) 7→ f(x,y,z).

Gradiente

El gradiente caracteriza el comportamiento de un campo escalar en el entorno de un punto.

La dirección del gradiente coincide con la del aumento máximo de la función.

El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial cuya componente en cualquier dirección es la derivada del escalar en esa dirección.

Divergencia

Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω ⊆ R n y consideremos sus coordenadas F = (F1,F2,...,Fn). Supongamos que F es diferenciable en un punto a ∈ Ω, lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares Fk, con k = 1,2,...,n, sean diferenciables en el punto a

La divergencia caracteriza el comportamiento punto a punto del campo vectorial respecto del flujo del mismo a través de superficies cerradas

-Si es positiva, el punto es origen de líneas de campo.

– Si es negativa, el punto es sumidero, final, de líneas de campo.

– Si es nula, el punto no es ni principio ni final de líneas de campo.

Rotacional

Sea F = (P,Q,R) un campo vectorial definido en un abierto Ω ⊆ R 3 y diferenciable en un punto a ∈ Ω. Del mismo modo que la divergencia divF(a) se obtiene como el producto escalar simbólico ∇.F(a)

-El rotacional da la circulación por unidad de superficie.

- Si v es un campo de velocidades, como en un fluido, el rotacional de v es distinto de cero en los ptos. en los que, si dejáramos una hoja, ésta giraría.

– Cu es un contorno contenido en una superficie u=cte

– Su es el área de la superficie u=cte limitada por Cu.

– La normal de la superficie se debe tomar según û, y el sentido positivo de la circulación se debe relacionar con û según la regla del sacacorchos.

Laplaciano

La divergencia del gradiente de una función escalar se llama Laplaciano.

relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.